넓이(여러 가지 함수)

계산을 위해서는 $x^2\sqrt{x^3+1}$ 의 부정적분이 필요한데, 이는 치환 $u=x^3+1$, $\mathrm{d}u = 3x^2\,\mathrm{d}x$ 를 이용하여 구할 수 있다:

$$\begin{aligned} \int x^2\sqrt{x^3+1} \, \mathrm{d}x = \int \sqrt u \cdot \frac13\,\mathrm{d}u = \frac13\int u^{1/2}\,\mathrm{d}u = \frac13\cdot \frac{u^{3/2}}{3/2}+C = \frac29(x^3+1)^{3/2} + C. \end{aligned}$$

두 함수 $f(x)$ 와 $g(x)$ 는 $x=0$ 에서 분명히 같다. $x\ne0$ 이면, 두 함수는 다음과 같을 때 같아진다:

$$\begin{aligned} 3x^2 &= x^2\sqrt{x^3+1} \\ 3 &= \sqrt{x^3+1} \\ 9 &= x^3+1 \\ 8 &= x^3 \\ 2 &= x. \end{aligned}$$

구간 $[0,2]$ 에서는 두 함수 중 $g(x)=3x^2$ 이 더 크다. 이는 예를 들어 $x=1$ 을 대입해 보거나, $x$ 가 매우 작을 때 $f(x)=x^2\sqrt{x^3+1}\approx x^2$ 이고 $g(x)=3x^2$ 임을 관찰하면 알 수 있다.

따라서 구하는 넓이는 다음과 같다:

$$\begin{aligned} \int_0^2 \big( 3x^2 - x^2\sqrt{x^3+1} \big) \, \mathrm{d}x &= \bigg( {x^3} - \frac29(x^3+1)^{3/2} \bigg) \bigg|_0^2 \\ &= \bigg( 2^3 - \frac2 9(2^3+1)^{3/2} \bigg) - \bigg( 0^3 - \frac29(0^3+1)^{3/2} \bigg) \\ &= \bigg( 8 - 6 \bigg) - \bigg( 0 - \frac 2 9 \bigg) =\frac{20}9. \end{aligned}$$