넓이(여러 가지 함수) 연습문제 — CLP-2 · 1.5절 · 13번

CLP-2 · 1.5절 · 13번우리말 번역

$y=\sqrt{9-x^2}$ 의 아래쪽에 있고, $y=|x|$ 와 $y=\sqrt{1-x^2}$ 의 위쪽에 모두 있는 유한한 영역의 넓이를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the area of the finite region below $y=\sqrt{9-x^2}$ and above both $y=|x|$ and $y=\sqrt{1-x^2}$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

먼저 영역을 그려 보자. $y=\sqrt{1-x^2}$ 과 $y=\sqrt{9-x^2}$ 은 각각 원점을 중심으로 하고 반지름이 1, 3 인 원의 위쪽 절반임에 주의하자.

이 영역은 두 사분원의 차이므로, 기하를 이용해 넓이를 구한다. $\text{Area}=\frac{1}{4}\left(\pi\cdot 3^2\right)-\frac{1}{4}\left(\pi\cdot 1^2\right)=2\pi$

원본 교재 풀이(영어)

Let's begin by sketching our region. Note that $y=\sqrt{1-x^2}$ and $y=\sqrt{9-x^2}$ are the top halves of circles centred at the origin with radii 1 and 3, respectively.

Our region is the difference of two quarter-circles, so we find its area using geometry: $\text{Area}=\frac{1}{4}\left(\pi\cdot 3^2\right)-\frac{1}{4}\left(\pi\cdot 1^2\right)=2\pi$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.5절 · 3번우리말 번역

$x\ge 0$ 에서 곡선 $y=x^3-x$ 와 $y=x$ 로 둘러싸인 유한한 넓이를 나타내는 정적분을 쓰세요. 정적분의 값을 직접 구하지는 마세요.

다 풀었으면 정답 확인

두 곡선은 $y=x$ 이고 $y=x^3-x$ 인 점에서 만난다. 이 점들을 구하기 위해 다음과 같이 놓는다.

$\begin{aligned} x&=x^3-x\\ 0&=x^3-2x\\ 0&=x(x^2-2)\\ 0&= x \quad\text{또는}\quad 0=x^2-2 \end{aligned}$

$x\ge 0$ 에서 두 곡선은 $(0,0)$ 과 $(\sqrt{2},\sqrt{2})$ 에서 만난다.

유용한 관찰로, 두 곡선이 모두 연속이고 $x=0$ 과 $x=\sqrt{2}$ 사이에서 서로 만나지 않으므로, 넓이를 두 영역으로 나누는 것을 걱정할 필요가 없다. 한 함수가 항상 위에 있고, 다른 함수가 항상 아래에 있기 때문이다.

수직 띠를 사용하면:

주어진 영역의 위쪽 경계와 아래쪽 경계는 각각 $y=T(x)=x$ 와 $y=B(x)=x^3-x$ 이다. 따라서

$\begin{aligned} {\rm Area} = \int_0^{\sqrt{2}}\big[T(x)-B(x)\big]\ \mathrm{d}x = \int_0^{\sqrt{2}}\big[x-(x^3-x)\big]\ \mathrm{d}x = \int_0^{\sqrt{2}} 2x-x^3 \ \mathrm{d}x \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 넓이(여러 가지 함수)활용보통자동 분류