넓이(여러 가지 함수) 연습문제 — CLP-2 · 1.5절 · 18번

CLP-2 · 1.5절 · 18번우리말 번역

곡선 $y=x(x^2-4)$ 와 직선 $y=x-2$ 에 의해 유계가 되는 유한한 영역의 넓이를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the area of the finite region bounded by the curve $y=x(x^2-4)$ and the line $y=x-2$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

첫 번째 함수는 삼차함수이며, $x=0,\pm2$ 에서 축과 만난다. 두 번째 함수는 기울기가 양수인 직선이다.

이 함수들이 서로 어떤 위치 관계에 있는지 알아야 하므로, 교점을 구한다.

$\begin{aligned} x(x^2-4)&=x-2\\ x(x+2)(x-2)&=x-2\\ \boxed{x-2=0} \quad\text{또는}\quad x(x+2)&=1\\ x^2+2x-1&=0\\ x &= \dfrac{-2\pm\sqrt{4-4(1)(-1)}}{2}\\ x&=\boxed{-1\pm \sqrt{2}} \end{aligned}$

따라서 세 교점은 $x=2$ 일 때와 ${x=-1\pm\sqrt{2}}$ 일 때이다. 다음이 성립한다. $-1-\sqrt{2} < -1+\sqrt{2} < -1+\sqrt{4}< 2\ .$ 그러므로 두 구간 $\left[-1-\sqrt{2},-1+\sqrt{2}\right]$ 와 $\left[-1+\sqrt{2},2\right]$ 에서 각각 어느 함수가 위에 있는지 알아보아야 한다. 각 구간의 한 점에서 확인하면 충분하다.

$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x & x(x^2-4) & x-2 & \text{위쪽 함수:} \\ \hline \text{0} & \text{0} & -2 & x(x^2-4) \\ \hline \text{1} & \text{-3} & -1 & x-2 \\ \hline \end{array}$

0 은 구간 $\left[-1-\sqrt{2},-1+\sqrt{2}\right]$ 에 속하므로, 이 구간에서는 $x(x^2-4)$ 가 위쪽 함수이다. 1 은 구간 $\left[-1+\sqrt{2},2\right]$ 에 속하므로, 이 구간에서는 $x-2$ 가 위쪽 함수이다. 이제 넓이를 구하는 적분을 세울 수 있다.

$\begin{aligned} \text{넓이}&=\int_{-1-\sqrt{2}}^{-1+\sqrt{2}}\left[x(x^2-4) - (x-2)\right]\ \mathrm{d}x \quad&&+ \quad &&\int_{-1+\sqrt{2}}^{2}\left[(x-2)-x(x^2-4)\right]\ \mathrm{d}x\\ &=\int_{-1-\sqrt{2}}^{-1+\sqrt{2}}\left[x^3-5x+2\right]\ \mathrm{d}x \quad&&+ \quad &&\int_{-1+\sqrt{2}}^{2}\left[-x^3+5x-2\right]\ \mathrm{d}x \\&=\left[\frac{1}{4}x^4 - \frac{5}{2}x^2+2x\right]_{-1-\sqrt{2}}^{-1+\sqrt{2}} \quad&&+ \quad &&\left[-\frac{1}{4}x^4 + \frac{5}{2}x^2-2x\right]_{-1+\sqrt{2}}^{2} \\ \text{번거롭지만 기초적인 대수 계산을 하면:} \\ &=\left(8\sqrt{2}\right)+\left(4\sqrt{2}-\frac{13}{4}\right)=12\sqrt{2}-\frac{13}{4} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The first function is a cubic, with intercepts at $x=0,\pm2$ . The second is a straight line with a positive slope.

We need to figure out what these functions look like in relation to one another, so let's find their points of intersection.

$\begin{aligned} x(x^2-4)&=x-2\\ x(x+2)(x-2)&=x-2\\ \boxed{x-2=0} \quad\text{or}\quad x(x+2)&=1\\ x^2+2x-1&=0\\ x &= \dfrac{-2\pm\sqrt{4-4(1)(-1)}}{2}\\ x&=\boxed{-1\pm \sqrt{2}} \end{aligned}$

So, our three points of intersection are when $x=2$ and when ${x=-1\pm\sqrt{2}}$ . We note $-1-\sqrt{2} < -1+\sqrt{2} < -1+\sqrt{4}< 2\ .$ So, we need to see which function is on top over the two intervals $\left[-1-\sqrt{2},-1+\sqrt{2}\right]$ and $\left[-1+\sqrt{2},2\right]$ . It suffices to check points in these intervals.

$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x & x(x^2-4) & x-2 & \text{top function:} \\ \hline \text{0} & \text{0} & -2 & x(x^2-4) \\ \hline \text{1} & \text{-3} & -1 & x-2 \\ \hline \end{array}$

Since 0 is in the interval $\left[-1-\sqrt{2},-1+\sqrt{2}\right]$ , $x(x^2-4)$ is the top function in that interval. Since 1 is in the interval $\left[-1+\sqrt{2},2\right]$ , $x-2$ is the top function in that interval. Now we can set up the integral to evaluate the area:

$\begin{aligned} \text{Area}&=\int_{-1-\sqrt{2}}^{-1+\sqrt{2}}\left[x(x^2-4) - (x-2)\right]\ \mathrm{d}x \quad&&+ \quad &&\int_{-1+\sqrt{2}}^{2}\left[(x-2)-x(x^2-4)\right]\ \mathrm{d}x\\ &=\int_{-1-\sqrt{2}}^{-1+\sqrt{2}}\left[x^3-5x+2\right]\ \mathrm{d}x \quad&&+ \quad &&\int_{-1+\sqrt{2}}^{2}\left[-x^3+5x-2\right]\ \mathrm{d}x \\&=\left[\frac{1}{4}x^4 - \frac{5}{2}x^2+2x\right]_{-1-\sqrt{2}}^{-1+\sqrt{2}} \quad&&+ \quad &&\left[-\frac{1}{4}x^4 + \frac{5}{2}x^2-2x\right]_{-1+\sqrt{2}}^{2} \\ \text{After some taxing but rudimentary algebra:} \\ &=\left(8\sqrt{2}\right)+\left(4\sqrt{2}-\frac{13}{4}\right)=12\sqrt{2}-\frac{13}{4} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제Active Calculus · 6.1절 · 12번우리말 번역

$f(x) = 2-x^2$ 이라 하자. 구간 $[a,b]$ 에서 연속인 임의의 함수 $f$ 의 평균값은 $\frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx$ 로 주어진다는 것을 기억하세요.

(a) 구간 $[0,\sqrt{2}]$ 에서 $f(x) = 2-x^2$ 의 평균값을 구하세요. 이 값을 $r$ 이라 하세요. (b) $y = f(x)$ 와 $y = r$ 의 그래프를 그리세요. 두 그래프의 교점을 구하세요. (c) 구간 $[0,\sqrt{2}]$ 에서 $y = f(x)$ 의 아래쪽이면서 $y = r$ 의 위쪽에 있는 부분의 넓이가, $y = r$ 의 아래쪽이면서 $y = f(x)$ 의 위쪽에 있는 부분의 넓이와 같음을 보이세요. (d) (c)의 결과는 임의의 구간에서 임의의 연속함수와 그 평균값에 대해서도 성립하나요? 그 이유를 설명하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) 구간 $[0,\sqrt{2}]$ 에서 $f$ 의 평균값은 $\begin{aligned}r &= \frac{1}{\sqrt{2}} \int_0^{\sqrt{2}} 2-x^2 \, dx \\ &= \left. \frac{1}{\sqrt{2}}\left(2x - \frac{x^3}{3}\right) \right|_0^{\sqrt{2}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left( 2\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}^3}{3} \right) \\ &= 2 - \frac{2}{3} \\ &= \frac{4}{3}\end{aligned}\,.$ (b) $y=f(x)$ 와 $y=r$ 의 교점은 양수 $x$ 에 대하여 $2-x^2 = \frac{4}{3}$ 일 때 생기며, 이로부터 $x^2 = \frac{2}{3}$ 이므로 $x = \frac{\sqrt{6}}{3}$ 이다. $f$ 의 그래프, $y = r$ 의 그래프와 교점은 다음 그림과 같다. $구간 0, sqrt 2 에서 f(x) = 2-x 2 의 그래프와, 이 구간에서의 평균값 y = frac 4 3 의 그래프이다. 함수 f 는 0 lt x lt frac sqrt 6 3 에서 평균값보다 위에 있고 그 평균값보다 아래에 있$ (c) 아래 그림과 같이, 구간 $\left[0, \frac{\sqrt{6}}{3}\right]$ 에서 $y = f(x)$ 의 아래쪽이면서 $y = r$ 의 위쪽에 있는 부분의 넓이를 $A_1$ , 구간 $\left[\frac{\sqrt{6}}{3}, \sqrt{2}\right]$ 에서 $y = r$ 의 아래쪽이면서 $y = f(x)$ 의 위쪽에 있는 영역의 넓이를 $A_2$ 라 하자. 그러면 $\begin{aligned}A_1 &= \int_0^{\sqrt{6}/3} (2-x^2) - \frac{4}{3} \ dx \\ &= \int_0^{\sqrt{6}/3} \frac{2}{3} - x^2 \ dx \\ &= \left. \left( \frac{2}{3}x - \frac{x^3}{3} \right) \right|_0^{\sqrt{6}/3} \\ &= \left(\frac{2}{3}\right) \left(\frac{\sqrt{6}}{3} \right) - \left(\frac{1}{3}\right) \left(\frac{\sqrt{6}}{3} \right)^3 \\ &= \frac{2\sqrt{6}}{9} - \frac{6 \sqrt{6}}{81} \\ &= \frac{4 \sqrt{6}}{27}\end{aligned}\,.$ 그리고 $\begin{aligned}A_2 &= \int_{\sqrt{6}/3}^{\sqrt{2}} \frac{4}{3} - (2-x^2) \ dx \\ &= \int_{\sqrt{6}/3}^{\sqrt{2}} x^2 - \frac{2}{3} \ dx \\ &= \left. \left(\frac{x^3}{3} - \frac{2}{3}x \right) \right|_{\sqrt{6}/3}^{\sqrt{2}} \\ &= \left(\frac{2\sqrt{2}}{3} - \frac{2}{3} \sqrt{2} \right) - \left[ \left(\frac{1}{3}\right) \left(\frac{\sqrt{6}}{3} \right)^3 - \left(\frac{2}{3}\right) \left(\frac{\sqrt{6}}{3} \right) \right] \\ &= \frac{4 \sqrt{6}}{27}\end{aligned}\,.$ 따라서 $A_1 = A_2$ 이다. (d) 답은 예이다. $AV$ 를 구간 $[a,b]$ 에서 함수 $f$ 의 평균값이라 하자. 평균값의 정의에 의해 $AV(b-a) = \int_a^b f(x) \ dx\,,$ 이며, 이는 밑변이 $(b-a)$ 이고 높이가 $AV$ 인 직사각형의 넓이로 볼 수도 있다. 이제 구간 $[a,b]$ 에서 $f$ 의 그래프의 위쪽이면서 직선 $y=AV$ 의 아래쪽에 있는 영역의 넓이를 $R_1$ , 구간 $[a,b]$ 에서 $f$ 의 그래프의 아래쪽이면서 직선 $y=AV$ 의 위쪽에 있는 영역의 넓이를 $R_2$ 라 하자. 아래 그림은 정적분의 값이 직사각형의 넓이에 직사각형 위쪽의 넓이를 더하고 직사각형 아래쪽의 넓이를 뺀 것과 같음을 보여 주며, 즉 $\int_a^b f(x) \, dx = AV(b-a) + R_2 - R_1\,.$ 이미 $AV(b-a) = \int_a^b f(x) \ dx$ 임을 보였으므로 $R_2 - R_1 = 0$ 이다. 따라서 $[a,b]$ 에서 $y = f(x)$ 의 아래쪽이면서 $y = AV$ 의 위쪽에 있는 영역의 넓이는, $y = AV$ 의 아래쪽이면서 $y = f(x)$ 의 위쪽에 있는 넓이와 같다.

이 문제로 이어서 풀기

# 넓이(여러 가지 함수)활용도전자동 분류