입체도형의 부피 연습문제 — CLP-2 · 1.6절 · 3번

CLP-2 · 1.6절 · 3번우리말 번역

$R$ 를 아래 그림에 나타낸 $y=f(x)$ 의 그래프로 위쪽이 막히고 $x$ 축으로 아래쪽이 막힌, $x=0$ 에서 $x=6$ 까지의 영역이라고 하자. $R$ 를 $y$ 축을 중심으로 회전시켜 만들어지는 와셔(워셔 모양의 속이 빈 원판)들을 그리세요. 스케치에 모든 반지름을 $y$ 에 대한 식으로 표시하고, 두께도 표시하세요.

영어 원문 보기

Let $R$ be the region bounded above by the graph of $y=f(x)$ shown below and bounded below by the $x$ -axis, from $x=0$ to $x=6$ . Sketch the washers that are formed by rotating $R$ about the $y$ -axis. In your sketch, label all the radii in terms of $y$ , and label the thickness.

정답·풀이 보기

$f(x)$ 는 구간별로 정의된 일차함수이므로 그래프에서 각 구간의 식을 구할 수 있다. 반지름은 $x$ 의 값으로 정해지므로, 아래에서는 $x$ 의 값을 $y$ 에 대한 함수로 나타낸다.

그림의 영역을 $y$ 축을 중심으로 회전시킨다고 생각하면 두 종류의 와셔가 만들어진다. $y<1$ 일 때는 중심이 같은 두 개의 고리, 즉 "이중 와셔"가 생기고, $y>1$ 일 때는 고리가 하나 생긴다.

$\mathbf{1<y \le 6}$ 일 때의 와셔: $y>1$ 이면 와셔의 안쪽 반지름은 $2+\frac{2}{3}y$ , 바깥쪽 반지름은 $6-\frac{2}{3}y$ , 높이는 $\mathrm{d}y$ 이다.

$\mathbf{0\le y <1}$ 일 때의 와셔: $0 \le y < 1$ 이면 함수의 두 "봉우리"에 대응하는, 중심이 같은 두 개의 고리, 즉 "이중 와셔"가 생긴다. 안쪽 와셔의 안쪽 반지름은 $r_1=y$ , 바깥쪽 반지름은 $R_1=2-y$ 이다. 바깥쪽 와셔의 안쪽 반지름은 $r_2=2+\frac{2}{3}y$ , 바깥쪽 반지름은 $R_2=6-\frac{2}{3}y$ 이다. 와셔의 두께는 $\mathrm{d}y$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Notice $f(x)$ is a piecewise linear function, so we can find explicit equations for each of its pieces from the graph. The radii will be determined by the $x$ -values, so below we give the $x$ -values as functions of $y$ .

If we imagine rotating the region from the picture about the $y$ -axis, there will be two kinds of washers formed: when $y<1$ , we have a “double washer," two concentric rings. When $y>1$ , we have a single ring.

Washers when $\mathbf{1<y \le 6}$ : If $y>1$ , then our washer has inner radius $2+\frac{2}{3}y$ , outer radius $6-\frac{2}{3}y$ , and height $\mathrm{d}y$ .

Washers when $\mathbf{0\le y <1}$ : When $0 \le y < 1$ , we have a “double washer," two concentric rings corresponding to the two “humps" in the function. The inner washer has inner radius $r_1=y$ and outer radius $R_1=2-y$ . The outer washer has inner radius $r_2=2+\frac{2}{3}y$ and outer radius $R_2=6-\frac{2}{3}y$ . The thickness of the washers is $\mathrm{d}y$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.6절 · 13번우리말 번역

곡선 $y = \cos(\frac x2)$ 와 $y = x^2 - \pi^2$ 으로 둘러싸인 유한한 영역을 직선 $y=-{\pi^2}$ 을 축으로 하여 회전시킨다. 수직 조각(원판 또는 와셔)을 이용하여 이때 생기는 회전체의 부피를 구하세요.

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

다음은 곡선 $y = \cos(\frac x2)$ 와 $y = x^2 - \pi^2$ 의 그래프이다.

살펴보면 두 곡선은 $x = \pm {\pi}$ 에서 만나며, 이때 $\cos(\frac x2)$ 와 $x^2 - \pi^2$ 은 모두 값이 0이다. 문제에서 지정한 대로 수직 와셔를 사용한다.

위 그림과 같이 주어진 영역을 너비가 $\mathrm{d}x$ 인 얇은 수직 띠로 자른다.
직선 $y=-\pi^2$ 을 축으로 회전시키면, 각 띠는 얇은 와셔를 만든다.
이 와셔의 안쪽 반지름은 $r_{in}= (x^2 - {\pi^2} ) - ( {-} {\pi^2} )=x^2$ 이고 바깥쪽 반지름은 $r_{out}=\cos(\frac x2) - ( {-} {\pi^2}) =\cos(\frac x2) +\pi^2$ 이며,
두께는 $\mathrm{d}x$ 이고, 따라서
부피는 $\pi(r_{out}^2 - r_{in}^2)\mathrm{d}x = \pi\big( {(\cos(\frac x2) +\pi^2)}^2 - {(x^2)}^2\big)\mathrm{d}x$ 이다.
가장 왼쪽 띠는 $x=-\pi$ 에 있고 가장 오른쪽 띠는 $x=\pi$ 에 있으므로,

전체 부피는 다음과 같다.

$\begin{aligned} &\pi \int_{-\pi}^{\pi} \left( \cos^2 (\tfrac x2) +2{\pi^2}\cos (\tfrac x2) +{\pi^4} -x^4\right)\,\mathrm{d}x \\ & = \pi \int_{-\pi}^{\pi} \left(\frac{1+\cos(x)}{2} +2{\pi^2}\cos (\tfrac x2) +{\pi^4} -x^4\right)\,\mathrm{d}x \\ \text{피적분함수가 우함수이므로,} \\ & = 2\pi \int_0^{\pi} \left(\frac{1+\cos(x)}{2} +2{\pi^2}\cos (\tfrac x2) +{\pi^4} -x^4\right)\,\mathrm{d}x \\ & = {2\pi \left[ \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\sin(x) + 4{\pi^2}\sin (\tfrac x2) +{\pi^4} x -\frac{1}{5}x^5 \right]} _0^\pi\\ & = 2\pi \left[\frac{\pi}{2} + 0 + 4{\pi^2} +{\pi^5} - \frac{\pi^5}{5} \right] \\ & = {\pi^2} + 8\pi^3 + \frac{8\pi^6}{5} \end{aligned}$

피적분함수가 우함수이고 적분 구간 $[-\pi, \pi]$ 가 대칭이라는 사실을 이용했지만, 직접 계산할 수도 있다.

이 문제로 이어서 풀기

# 입체도형의 부피그래프·표 해석기본자동 분류