문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 적분법

입체도형의 부피

단면의 넓이를 적분해 부피를 구한다(원판·와셔로 회전체의 부피 포함)

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

84문제 · 1 / 5쪽

1.OpenStax 1권 · 6.2절 · 30번우리말 풀이

다음 문제에서 곡선으로 둘러싸인 영역을 그린 뒤, 이 영역을 $y$ 축을 중심으로 회전시킬 때 생기는 입체의 부피를 구하세요.

$x=\sec y$ 와 $y=\frac{\pi}{4}$ , $y=0$ , $x=0$

영어 원문 보기

For the following exercises, draw the region bounded by the curves. Then, find the volume when the region is rotated around the y-axis.

$x=\sec (y)\,\text{and}\,y=\frac{\pi }{4},\,y=0\,\text{and}\,x=0$

풀이 보기

$y$ 축 둘레로 돌리면 높이 $y$ 에서의 단면은 반지름 $\sec y$ 인 원이니, $\pi(\text{반지름})^2$ 를 $y$ 로 적분해요.

1
영역은 제1사분면에서 위는 $y=\frac\pi4$ , 오른쪽은 $x=\sec y$ , 아래는 $x$ 축, 왼쪽은 $y$ 축으로 둘러싸인 부분이에요.
2
$y$ 축을 중심으로 돌리면, 높이 $y$ 에서 자른 단면은 반지름이 $x=\sec y$ 인 원판이에요. 넓이는 $\pi\sec^2 y$ 예요.
3
$y$ 는 $0$ 부터 $\frac\pi4$ 까지이므로 $V=\pi\int_0^{\pi/4}\sec^2y\,dy$ 예요.
4
$\tan y$ 를 미분하면 $\sec^2y$ 이므로 $V=\pi\bigl[\tan y\bigr]_0^{\pi/4}=\pi(1-0)=\pi$ 예요.

답

$\pi$ (부피 단위)

자주 하는 실수

$\pi$ 를 빠뜨리거나, $x$ 에 대한 식으로 잘못 적분하기 쉬워요. 회전축이 $y$ 축이면 $y$ 로 적분해요.

원본 교재 풀이(영어)

This figure is a graph in the first quadrant. It is a shaded region bounded above by the line y=pi/4, to the right by the curve x=sec(y), below by the x-axis, and to the left by the y-axis.

$\pi$ units³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 48번

# 입체도형의 부피계산보통

2.OpenStax 1권 · 6.2절 · 1번우리말 번역

단면을 이용한 방법을 이용하여 구의 부피 공식을 유도하세요.

영어 원문 보기

Derive the formula for the volume of a sphere using the slicing method.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.6절 · 13번

# 입체도형의 부피활용자동 분류

3.OpenStax 1권 · 6.2절 · 2번우리말 번역

단면을 이용한 방법을 이용하여 원뿔의 부피 공식을 유도하세요.

영어 원문 보기

Use the slicing method to derive the formula for the volume of a cone.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 54번

# 입체도형의 부피활용자동 분류

4.OpenStax 1권 · 6.2절 · 3번우리말 번역

단면 자르기 방법을 이용하여 한 변의 길이가 $a$ 인 정사면체의 부피 공식을 유도하세요.

영어 원문 보기

Use the slicing method to derive the formula for the volume of a tetrahedron with side length $a.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.6절 · 2번

# 입체도형의 부피활용자동 분류

5.OpenStax 1권 · 6.2절 · 4번우리말 번역

원판 방법을 이용하여 사다리꼴 기둥의 부피 공식을 유도하세요.

영어 원문 보기

Use the disk method to derive the formula for the volume of a trapezoidal cylinder.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 24번

# 입체도형의 부피활용자동 분류

6.OpenStax 1권 · 6.2절 · 5번우리말 번역

원판 방법과 와셔 방법을 각각 언제 사용하는지 설명하세요. 둘을 서로 바꿔 쓸 수 있는 경우는 언제인가요?

영어 원문 보기

Explain when you would use the disk method versus the washer method. When are they interchangeable?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 16번

# 입체도형의 부피계산자동 분류

7.OpenStax 1권 · 6.2절 · 6번우리말 번역

높이가 6 단위이고 밑면이 한 변의 길이가 2 단위인 정사각형인 사각뿔이다(그림 참조).

이 그림은 밑면의 너비가 2 단위이고 높이가 6 단위인 사각뿔이다.

영어 원문 보기

A pyramid with height 6 units and square base of side 2 units, as pictured here.

This figure is a pyramid with base width of 2 and height of 6 units.

정답·풀이 보기

8 단위³

원본 교재 풀이(영어)

8 units³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.6절 · 9번

# 입체도형의 부피그래프·표 해석자동 분류

8.OpenStax 1권 · 6.2절 · 7번우리말 번역

높이가 4 단위이고 밑면이 가로 2 단위, 세로 3 단위인 직사각형인 사각뿔이다(그림 참조).

이 그림은 밑면의 너비가 2, 길이가 3이고 높이가 4 단위인 사각뿔이다.

영어 원문 보기

A pyramid with height 4 units and a rectangular base with length 2 units and width 3 units, as pictured here.

This figure is a pyramid with base width of 2, length of 3, and height of 4 units.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 14번

# 입체도형의 부피그래프·표 해석자동 분류

9.OpenStax 1권 · 6.2절 · 8번우리말 번역

아래 그림과 같이 밑면의 한 변의 길이가 4 단위인 사면체가 있다.

이 그림은 한 변의 길이가 4 단위인 정삼각형이다.

영어 원문 보기

A tetrahedron with a base side of 4 units, as seen here.

This figure is an equilateral triangle with side length of 4 units.

정답·풀이 보기

$\frac{32}{3\sqrt{2}}$ 단위³

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{32}{3\sqrt{2}}$ units³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 6.2절 · 7번

# 입체도형의 부피그래프·표 해석자동 분류

10.OpenStax 1권 · 6.2절 · 9번우리말 번역

높이가 5 단위이고 밑면이 길이가 6 단위, 8 단위인 이등변삼각형인 삼각뿔이다(그림 참조).

이 그림은 밑면이 삼각형인 삼각뿔이다. 밑면을 위에서 본 모습이다. 삼각형의 세 변의 길이는 6 단위, 8 단위, 8 단위이다. 삼각뿔의 높이는 5 단위이다.

영어 원문 보기

A pyramid with height 5 units, and an isosceles triangular base with lengths of 6 units and 8 units, as seen here.

This figure is a pyramid with a triangular base. The view is of the base. The sides of the triangle measure 6 units, 8 units, and 8 units. The height of the pyramid is 5 units.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 18번

# 입체도형의 부피그래프·표 해석자동 분류

11.OpenStax 1권 · 6.2절 · 10번우리말 번역

반지름이 $r$ 이고 높이가 $h$ 인 원뿔에서 그림과 같이 꼭대기 부분의 반지름이 $r/2$ 이고 높이가 $h/2$ 인 작은 원뿔을 잘라 냈습니다. 이렇게 만들어진 입체를 원뿔대라고 합니다.

이 그림은 거꾸로 세워진 원뿔을 3차원으로 나타낸 그래프이다. 원뿔은 3차원 좌표공간을 나타내는 직육면체 안에 들어 있다. 원뿔 아래쪽 면의 반지름은 “r”로, 원뿔 위쪽 면의 반지름은 “r/2”로 표시되어 있다.

영어 원문 보기

A cone of radius $r$ and height $h$ has a smaller cone of radius $r/2$ and height $h/2$ removed from the top, as seen here. The resulting solid is called a frustum.

This figure is a 3-dimensional graph of an upside down cone. The cone is inside of a rectangular prism that represents the xyz coordinate system. the radius of the bottom of the cone is “r” and the radius of the top of the cone is labeled “r/2”.

정답·풀이 보기

$\frac{7}{24}\pi {r}^{2}h$ 단위³

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{7}{24}\pi {r}^{2}h$ units³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 12번

# 입체도형의 부피그래프·표 해석자동 분류

12.OpenStax 1권 · 6.2절 · 11번우리말 번역

밑면은 반지름이 $a$ 인 원이다. 밑면에 수직인 단면은 정사각형이다.

영어 원문 보기

The base is a circle of radius $a.$ The slices perpendicular to the base are squares.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.6절 · 5번

# 입체도형의 부피계산자동 분류

13.OpenStax 1권 · 6.2절 · 12번우리말 번역

밑면은 꼭짓점이 $(0,0),(1,0)$ , 그리고 $(0,1)$ 인 삼각형이다. x축에 수직인 단면은 반원이다.

영어 원문 보기

The base is a triangle with vertices $(0,0),(1,0),$ and $(0,1).$ Slices perpendicular to the x-axis are semicircles.

정답·풀이 보기

이 그림은 x축과 y축을 보여 주며, x축 위의 점 (1,0)에서 시작하여 y축 위의 점 (0,1)에서 끝나는 선분이 있다. xy평면에 수직으로 색칠된 반원 4개가 있고, 각 반원의 지름은 x축에서 시작하여 이 선분에서 끝나며, 원점에서 멀어질수록 크기가 감소한다.

$\frac{\pi }{24}$ 단위³

원본 교재 풀이(영어)

This figure shows the x-axis and the y-axis with a line starting on the x-axis at (1,0) and ending on the y-axis at (0,1). Perpendicular to the xy-plane are 4 shaded semi-circles with their diameters beginning on the x-axis and ending on the line, decreasing in size away from the origin.

$\frac{\pi }{24}$ units³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 38번

# 입체도형의 부피계산자동 분류

14.OpenStax 1권 · 6.2절 · 13번우리말 번역

밑면은 제1사분면에서 포물선 $y=1-{x}^{2}$ 아래에 있는 영역이다. xy평면에 수직이고 y축에 평행한 단면은 정사각형이다.

영어 원문 보기

The base is the region under the parabola $y=1-{x}^{2}$ in the first quadrant. Slices perpendicular to the xy-plane and parallel to the y-axis are squares.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.6절 · 9번

# 입체도형의 부피계산자동 분류

15.OpenStax 1권 · 6.2절 · 14번우리말 번역

밑면은 포물선 $y=1-{x}^{2}$ 아래이고 $x\text{축}$ 위에 있는 영역이다. $y\text{축}$ 에 수직인 단면은 정사각형이다.

영어 원문 보기

The base is the region under the parabola $y=1-{x}^{2}$ and above the $x\text{-axis}.$ Slices perpendicular to the $y\text{-axis}$ are squares.

정답·풀이 보기

이 그림은 x축과 y축을 3차원 원근법으로 나타낸 것이다. x축 위의 그래프에는 포물선이 있는데, 이 포물선은 꼭짓점이 y=1에 있고 x절편이 (-1,0)과 (1,0)이다. xy평면에 수직인 정사각형 모양의 색칠된 영역이 3개 있으며, 이 영역들은 포물선의 양쪽에 닿아 있고 원점에서 멀어질수록 크기가 감소한다.

$2$ 단위³

원본 교재 풀이(영어)

This figure shows the x-axis and the y-axis in 3-dimensional perspective. On the graph above the x-axis is a parabola, which has its vertex at y=1 and x-intercepts at (-1,0) and (1,0). There are 3 square shaded regions perpendicular to the x y plane, which touch the parabola on either side, decreasing in size away from the origin.

$2$ units³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 7.2절 · 4번

# 입체도형의 부피계산자동 분류

16.OpenStax 1권 · 6.2절 · 15번우리말 번역

밑면은 $y={x}^{2}$ 과 $y=9$ 로 둘러싸인 영역이다. x축에 수직인 단면은 직각이등변삼각형이다. 이러한 단면 중 하나와 밑면이 만나는 부분은 삼각형의 직각을 낀 변이다.

영어 원문 보기

The base is the region enclosed by $y={x}^{2}$ and $y=9.$ Slices perpendicular to the x-axis are right isosceles triangles. The intersection of one of these slices and the base is the leg of the triangle.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.6절 · 3번

# 입체도형의 부피계산자동 분류

17.OpenStax 1권 · 6.2절 · 16번우리말 번역

밑면은 $y=x$ 와 $y={x}^{2}$ 사이의 영역이다. x축에 수직인 단면은 반원이다.

영어 원문 보기

The base is the area between $y=x$ and $y={x}^{2}.$ Slices perpendicular to the x-axis are semicircles.

정답·풀이 보기

이 그림은 3차원 투시를 나타내기 위해 x축과 y축을 비스듬하게 그린 그래프이다. 그래프의 제1사분면에는 직선 y=x 와 포물선 y=x^2 의 곡선이 있다. 두 곡선은 원점과 (1,1)에서 만난다. 반원 모양으로 색칠된 여러 개의 영역이 xy평면에 수직으로 서 있으며, 이 영역들은 포물선에서 직선까지 이어지고 직선에 수직이다.

$\frac{\pi }{240}$ 단위³

원본 교재 풀이(영어)

This figure is a graph with the x and y axes diagonal to show 3-dimensional perspective. On the first quadrant of the graph are the curves y=x, a line, and y=x^2, a parabola. They intersect at the origin and at (1,1). Several semicircular-shaped shaded regions are perpendicular to the x y plane, which go from the parabola to the line and perpendicular to the line.

$\frac{\pi }{240}$ units³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 10번

# 입체도형의 부피계산자동 분류

18.OpenStax 1권 · 6.2절 · 17번우리말 번역

다음 연습 문제에서, 주어진 곡선으로 둘러싸인 영역을 그리세요. 그런 다음 원판법을 이용하여 이 영역을 x축을 중심으로 회전시킬 때의 부피를 구하세요.

$x+y=8,x=0,\,\text{및}\,y=0$

영어 원문 보기

For the following exercises, draw the region bounded by the curves. Then, use the disk method to find the volume when the region is rotated around the x-axis.

$x+y=8,x=0,\,\text{and}\,y=0$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.6절 · 17번

# 입체도형의 부피계산자동 분류

19.OpenStax 1권 · 6.2절 · 18번우리말 번역

다음 연습 문제에서, 주어진 곡선으로 둘러싸인 영역을 그리세요. 그런 다음 원판법을 이용하여 이 영역을 x축을 중심으로 회전시킬 때의 부피를 구하세요.

$y=2{x}^{2},x=0,x=4,\,\text{및}\,y=0$

영어 원문 보기

For the following exercises, draw the region bounded by the curves. Then, use the disk method to find the volume when the region is rotated around the x-axis.

$y=2{x}^{2},x=0,x=4,\,\text{and}\,y=0$

정답·풀이 보기

이 그림은 제1사분면에 그린 그래프이다. 색칠된 영역은 위쪽은 곡선 y=2x^2, 아래쪽은 x축, 오른쪽은 수직선 x=4 로 둘러싸여 있다.

$\frac{4096\pi }{5}$ 단위³

원본 교재 풀이(영어)

This figure is a graph in the first quadrant. It is a shaded region bounded above by the curve y=2x^2, below by the x-axis, and to the right by the vertical line x=4.

$\frac{4096\pi }{5}$ units³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 32번

# 입체도형의 부피계산자동 분류

20.OpenStax 1권 · 6.2절 · 19번우리말 번역

다음 연습 문제에서, 주어진 곡선으로 둘러싸인 영역을 그리세요. 그런 다음 원판법을 이용하여 이 영역을 x축을 중심으로 회전시킬 때의 부피를 구하세요.

$y={e}^{x}+1,x=0,x=1,\,\text{및}\,y=0$

영어 원문 보기

For the following exercises, draw the region bounded by the curves. Then, use the disk method to find the volume when the region is rotated around the x-axis.

$y={e}^{x}+1,x=0,x=1,\,\text{and}\,y=0$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 20번

# 입체도형의 부피계산자동 분류