입체도형의 부피 연습문제 — CLP-2 · 1.6절 · 6번

CLP-2 · 1.6절 · 6번우리말 번역

곡선 $y=x^2$ 과 $y=8-x^2$ 사이의 영역을 직선 $y=-1$ 을 축으로 회전시켜 얻은 입체의 부피를 나타내는 정적분을 쓰세요. 정적분의 값을 직접 계산하지 마세요.

영어 원문 보기

Write down a definite integral that represents the volume of the solid obtained by rotating around the line $y=-1$ the region between the curves $y=x^2$ and $y=8-x^2$ . Do not evaluate the integrals explicitly.

정답·풀이 보기

두 곡선은 $(-2,4)$ 와 $(2,4)$ 에서 만난다. 그림

과 같은 띠를 직선 $y=-1$ 을 축으로 회전시키면 다음과 같은 얇은 와셔(구멍 뚫린 원판)가 만들어진다.

안쪽 반지름은 $x^2+1$ ,
바깥쪽 반지름은 $9-x^2$ ,
두께는 $\mathrm{d}x$ 이므로
단면의 넓이는 $\pi\big[{(9-x^2)}^2-{(x^2+1)}^2\big]$ 이고
부피는 $\pi\big[{(9-x^2)}^2-{(x^2+1)}^2\big]\,\mathrm{d}x$ 이다.

그러므로 입체의 부피는 다음과 같다.

$\begin{aligned} \pi\int_{-2}^{2}\big[{(9-x^2)}^2-{(x^2+1)}^2\big]\ \mathrm{d}x \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The curves intersect at $(-2,4)$ and $(2,4)$ . When the strip shown in the figure

is rotated about the line $y=-1$ , it forms a thin washer (punctured disc) of

inner radius $x^2+1$ ,
outer radius $9-x^2$ and
thickness $\mathrm{d}x$ and hence of
cross sectional area $\pi\big[{(9-x^2)}^2-{(x^2+1)}^2\big]$ and
volume $\pi\big[{(9-x^2)}^2-{(x^2+1)}^2\big]\,\mathrm{d}x$ .

So the volume of the solid is

$\begin{aligned} \pi\int_{-2}^{2}\big[{(9-x^2)}^2-{(x^2+1)}^2\big]\ \mathrm{d}x \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.6절 · 17번우리말 번역

지구의 모양은 구가 아니라 납작한 회전타원체로 어림되는 경우가 많습니다. 납작한 회전타원체는 타원을 단축(가장 짧은 지름)을 축으로 회전시켜 만든 도형입니다.

(a) 타원 $(ax)^2+(by)^2=1$ 의 위쪽(양의) 절반을 $x$ 축을 중심으로 회전시켜 얻은 납작한 회전타원체의 부피를 구하세요. 단, $a$ 와 $b$ 는 $a \geq b$ 인 양의 상수입니다. (b) (지구 개요 자료, NASA, https://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/earthfact.html, 2017년 7월 2일 접속) 지구의 적도 반지름이 6378.137 km 이고 극 반지름이 6356.752 km 라고 합시다. 지구를 타원 $(ax)^2+(by)^2=1$ 의 위쪽 절반을 $x$ 축을 중심으로 회전시켜 얻은 납작한 회전타원체로 모형화하면, $a$ 와 $b$ 는 각각 얼마인지 구하세요. (c) 이 지구 모형의 부피를 구하세요. (계산기를 사용하세요.) (d) 지구를 반지름이 $6378.137$ km 인 구로 모형화하여 부피를 계산했다고 합시다. 납작한 회전타원체로 계산한 값과 비교할 때 절대오차와 상대오차는 각각 얼마인지 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a)

먼저 타원 $(ax)^2+(by)^2=1$ 의 위쪽 절반의 그래프를 그린다. 절편만 알아도 대략적인 모양을 알 수 있다: $(0,\frac{1}{b})$ 와 $(\pm\frac{1}{a},0)$ :

처음에 몇 가지를 짚어 두자. 첫째, $a \geq b$ 이므로 $\frac{1}{a} \leq \frac{1}{b}$ 이고, 따라서 $x$ 축이 단축이다. 즉, 납작한 회전타원체를 만들기 위해 알맞은 축을 중심으로 회전시키고 있다.

둘째, 방정식을 $y$ 에 대해 풀면 $y=\frac{1}{b}\sqrt{1-(ax)^2}$ 이다. (타원의 위쪽 절반만 필요하므로 양의 제곱근만 생각하면 된다.)

이제 표준적인 회전체의 부피 문제이다. 너비가 $\mathrm{d}x$ 이고 높이가 $y=\frac{1}{b}\sqrt{1-(ax)^2}$ 인 세로 조각으로 나눈다. 이 조각들을 $x$ 축을 중심으로 회전시키면 부피가 $\pi\left[\frac{1}{b}\sqrt{1-(ax)^2}\right]^2\mathrm{d}x$ 인 얇은 원판이 된다. $x$ 는 $-\frac{1}{a}$ 에서 $\frac{1}{a}$ 까지 변하므로, 납작한 회전타원체의 부피는 다음과 같다:

$\begin{aligned} \text{부피}&=\int_{-\frac{1}{a}}^{\frac{1}{a}} \pi \left[\frac{1}{b}\sqrt{1-(ax)^2}\right]^2\mathrm{d}x\\ &=\frac{\pi}{b^2}\int_{-\frac{1}{a}}^{\frac{1}{a}} 1-(ax)^2\ \mathrm{d}x\\ &=\frac{2\pi}{b^2}\int_{0}^{\frac{1}{a}} 1-(ax)^2\ \mathrm{d}x&\text{(우함수)}\\ &=\frac{2\pi}{b^2}\left[x - \frac{a^2x^3}{3}\right]_{0}^{\frac{1}{a}}\\ &=\frac{2\pi}{b^2}\left[\frac{1}{a} - \frac{1}{3a} \right] = \frac{4\pi}{3b^2a} \end{aligned}$

(b) (a)의 그래프에서 보았듯이 타원의 가장 짧은 반지름은 $\frac{1}{a}$ 이고 가장 긴 반지름은 $\frac{1}{b}$ 이다. 따라서 $\frac{1}{a} = 6356.752$ 이고 $\frac{1}{b} = 6378.137$ 이다. 즉, $a = \dfrac{1}{6356.752}$ 이고 $b=\dfrac{1}{6378.137}$ 이다.

(a)에서 주어진 대로 $a \geq b$ 임에 유의한다.

$\begin{aligned} \frac{4\pi}{3b^2a} &= \frac{4\pi}{3}\left(\frac{1}{b}\right)^2\left(\frac{1}{a}\right)\\ &=\frac{4\pi}{3}\left(6378.137\right)^2\left(6356.752\right)\\ &\approx 1.08321\times 10^{12} \quad\mathrm{km}^3\\ &\approx 1.08321\times 10^{21} \quad\mathrm{m}^3 \end{aligned}$

(d) 반지름이 6378.137 인 구의 부피는

$\begin{aligned} &\dfrac{4}{3}\pi\left(6378.137\right)^3 \\ \text{따라서 절대오차는 다음과 같다:} \\ &\left|\frac{4\pi}{3}\left(6378.137\right)^2\left(6356.752\right) - \dfrac{4}{3}\pi\left(6378.137\right)^3 \right|\\ =&\frac{4\pi}{3}\left(6378.137\right)^2\big|6356.752 - 6378.137\big|\\ =&\frac{4\pi}{3}\left(6378.137\right)^2(21.385)\\ \approx&~3.64 \times 10^{9}~\mathrm{km}^3 \\ \text{그리고 상대오차는 다음과 같다:} \\ \frac{\text{절대오차}}{\text{참값}}&=\frac{\frac{4\pi}{3}\left(6378.137\right)^2\big|6356.752 - 6378.137\big|}{\frac{4\pi}{3}\left(6378.137\right)^2\left(6356.752\right)}\\ &=\frac{\big|6356.752 - 6378.137\big|}{6356.752}\\ &=\frac{6378.137}{6356.752}-1\\ &\approx ~0.00336 \end{aligned}$

즉, 약 $0.336\%$ 로, 1퍼센트의 약 3분의 1이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 입체도형의 부피활용기본자동 분류