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문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 적분법

부분적분법

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-2 · 1.7절 · 12번우리말 번역

∫x2sin⁡x dx\displaystyle\int x^2\sin x~\mathrm{d}x 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate ∫x2sin⁡x dx\displaystyle\int x^2\sin x~\mathrm{d}x .

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부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

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피적분함수는 두 함수의 곱이고 뚜렷한 치환도 보이지 않으므로, 부분적분으로 무엇을 할 수 있는지 살펴보자.

방법 1:u=x2du=2x dx dv=sin⁡x dxv=−cos⁡x방법 2:u=sin⁡xdu=cos⁡x dx dv=x2 dxv=13x3\begin{array}{c | l | l |} &&\\ \text{방법 1:\quad}& u=x^2 &\mathrm{d}u=2x ~\mathrm{d}x\\[10pt] ~& \mathrm{d}v=\sin x~\mathrm{d}x&v=-\cos x\\[10pt] &&\\ \text{방법 2:\quad}& u=\sin x&\mathrm{d}u=\cos x~\mathrm{d}x\\[10pt] ~& \mathrm{d}v=x^2~ \mathrm{d}x&v=\frac{1}{3}x^3\\[10pt] \end{array}

어느 방법도 곧바로 적분할 수 있는 식을 주지는 않지만, 방법 1은 x2x^2 항을 xx 의 더 낮은 거듭제곱으로 바꾼다. 부분적분을 반복해서 적용하면 이 거듭제곱을 0까지 낮출 수 있다. 그러므로 u=x2u=x^2, dv=sin⁡xdx\mathrm{d}v=\sin x\mathrm{d}x 로 놓고 시작하면 du=2xdx\mathrm{d}u=2x\mathrm{d}x, v=−cos⁡xv=-\cos x 이다.

∫x2sin⁡x dx=−x2cos⁡x⏟uv+∫2xcos⁡xdx⏟−vdu=−x2cos⁡x+2∫xcos⁡xdx부분적분을 다시 쓸 때에는 x 를 (부정적분하지 않고) 미분하고 싶으므로 u=x, dv=cos⁡xdx 로 놓으면 du=dx (x 가 사라졌다!), v=sin⁡x 이다.=−x2cos⁡x+2[xsin⁡x⏟uv−∫sin⁡xdx⏟vdu]=−x2cos⁡x+2xsin⁡x+2cos⁡x+C=(2−x2)cos⁡x+2xsin⁡x+C\begin{aligned} \int x^2\sin x~\mathrm{d}x &=\underbrace{ -x^2\cos x}_{uv} +\underbrace{ \int 2x\cos x \mathrm{d}x}_{-v\mathrm{d}u}\\ &=-x^2\cos x + 2 \int x \cos x \mathrm{d}x \\ \text{부분적분을 다시 쓸 때에는 $x$ 를 (부정적분하지 않고) 미분하고 싶으므로 $u=x$, $\mathrm{d}v=\cos x \mathrm{d}x$ 로 놓으면 $\mathrm{d}u=\mathrm{d}x$ ($x$ 가 사라졌다!), $v=\sin x$ 이다.} \\ &=-x^2\cos x + 2\left[\underbrace{x\sin x}_{uv}-\int \underbrace{\sin x \mathrm{d}x}_{v\mathrm{d}u} \right] \\&=-x^2\cos x + 2x\sin x+2\cos x +C\\ &=(2-x^2)\cos x + 2x\sin x +C \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

The integrand is the product of two functions, without an obvious substitution, so let's see what integration by parts can do for us.

Option 1:u=x2du=2x dx dv=sin⁡x dxv=−cos⁡xOption 2:u=sin⁡xdu=cos⁡x dx dv=x2 dxv=13x3\begin{array}{c | l | l |} &&\\ \text{Option 1:\quad}& u=x^2 &\mathrm{d}u=2x ~\mathrm{d}x\\[10pt] ~& \mathrm{d}v=\sin x~\mathrm{d}x&v=-\cos x\\[10pt] &&\\ \text{Option 2:\quad}& u=\sin x&\mathrm{d}u=\cos x~\mathrm{d}x\\[10pt] ~& \mathrm{d}v=x^2~ \mathrm{d}x&v=\frac{1}{3}x^3\\[10pt] \end{array}

Neither option gives us something immediately integrable, but Option 1 replaces our x2x^2 term with a lower power of xx. If we repeatedly apply integration by parts, we can reduce this power to zero. So, we start by choosing u=x2u=x^2 and dv=sin⁡xdx\mathrm{d}v=\sin x\mathrm{d}x, so du=2xdx\mathrm{d}u=2x\mathrm{d}x and v=−cos⁡xv=-\cos x.

∫x2sin⁡x dx=−x2cos⁡x⏟uv+∫2xcos⁡xdx⏟−vdu=−x2cos⁡x+2∫xcos⁡xdxUsing integration by parts again, we want to be differentiating (not antidifferentiating) x, so we choose u=x, dv=cos⁡xdx, and then du=dx (x went away!), v=sin⁡x.=−x2cos⁡x+2[xsin⁡x⏟uv−∫sin⁡xdx⏟vdu]=−x2cos⁡x+2xsin⁡x+2cos⁡x+C=(2−x2)cos⁡x+2xsin⁡x+C\begin{aligned} \int x^2\sin x~\mathrm{d}x &=\underbrace{ -x^2\cos x}_{uv} +\underbrace{ \int 2x\cos x \mathrm{d}x}_{-v\mathrm{d}u}\\ &=-x^2\cos x + 2 \int x \cos x \mathrm{d}x \\ \text{Using integration by parts again, we want to be differentiating (not antidifferentiating) $x$, so we choose $u=x$, $\mathrm{d}v=\cos x \mathrm{d}x$, and then $\mathrm{d}u=\mathrm{d}x$ ($x$ went away!), $v=\sin x$.} \\ &=-x^2\cos x + 2\left[\underbrace{x\sin x}_{uv}-\int \underbrace{\sin x \mathrm{d}x}_{v\mathrm{d}u} \right] \\&=-x^2\cos x + 2x\sin x+2\cos x +C\\ &=(2-x^2)\cos x + 2x\sin x +C \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.7절 · 10번우리말 번역

∫x3exdx\displaystyle\int x^3 e^x \mathrm{d}x 의 값을 구하세요.

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

다 풀었으면 정답 확인

이 피적분함수는 두 함수의 곱이며, 뚜렷한 치환이 보이지 않는다. 그래서 한쪽을 exe^x, 다른 쪽을 x3x^3 으로 하여 부분적분을 시도해 보자.

방법 1:u=exdu=ex dx dv=x3 dxv=14x4방법 2:u=x3du=3x2 dx dv=ex dxv=ex\begin{array}{c | l | l |} &&\\ \text{방법 1:\quad}& u=e^x &\mathrm{d}u=e^x ~\mathrm{d}x\\[10pt] ~& \mathrm{d}v=x^3~\mathrm{d}x&v=\frac{1}{4}x^4\\[10pt] &&\\ \text{방법 2:\quad}& u=x^3&\mathrm{d}u=3x^2~\mathrm{d}x\\[10pt] ~& \mathrm{d}v=e^x~ \mathrm{d}x&v=e^x\\[10pt] \end{array}

얼핏 보면, 빨간색 함수끼리 곱한 것과 파란색 함수끼리 곱한 것은 처음 적분과 거의 비슷한 피적분함수가 되며, 어느 것도 원시함수가 뚜렷하게 보이지 않는다. 앞선 문제들에서는 u=xu=x 로 놓아 du=dx\mathrm{d}u=\mathrm{d}x 가 되었으므로, 피적분함수의 "xx"가 사실상 사라졌다. 여기서는 u=x3u=x^3 으로 놓으면 du=3x2dx\mathrm{d}u=3x^2\mathrm{d}x 가 되어 차수가 낮아진다는 것을 알 수 있다. 매번 uu 를 xx 의 거듭제곱으로 정하여 부분적분을 반복하면, x3x^3 의 3계 도함수는 상수이므로 몇 번 반복한 뒤에는 xx 의 거듭제곱이 사라질 것이다.

그러므로 방법 2인 u=x3u=x^3, dv=exdx\mathrm{d}v=e^x\mathrm{d}x, du=3x2dx\mathrm{d}u=3x^2\mathrm{d}x, v=exv = e^x 으로 시작한다.

∫x3exdx=x3⏟uex⏟v−∫ex⏟v⋅3x2dx⏟du=x3ex−3∫ex⋅x2dx이제 u=x2, dv=exdx 로 놓으면 du=2xdx, v=ex 이다. 부분적분은 실제 적분 부분에만 적용하며, 나머지 함수는 그대로 둔다.=x3ex−3[x2ex⏟uv−∫ex⏟v⋅2xdx⏟du]=x3ex−3x2ex+6∫xexdx계속해서 u=x, dv=exdx 로 놓으면 du=dx, v=ex 이다. 이 단계에서 피적분함수의 다항식 부분이 드디어 사라진다.=x3ex−3x2ex+6[xex⏟uv−∫ex⏟vdx⏟du]=x3ex−3x2ex+6xex−6ex+C=ex(x3−3x2+6x−6)+C\begin{aligned} \int x^3 e^x \mathrm{d}x&= \underbrace{x^3}_{u}\underbrace{e^x}_{v} - \int \underbrace{e^x}_v \cdot\underbrace{ 3x^2 \mathrm{d}x}_{\mathrm{d}u}\\ &= {x^3}{e^x} -3 \int {e^x} \cdot x^2 \mathrm{d}x \\ \text{이제 $u=x^2$, $\mathrm{d}v=e^x\mathrm{d}x$ 로 놓으면 $\mathrm{d}u=2x\mathrm{d}x$, $v=e^x$ 이다. 부분적분은 실제 적분 부분에만 적용하며, 나머지 함수는 그대로 둔다.} \\ &=x^3e^x -3 \left[\underbrace{x^2e^x}_{uv} - \int \underbrace{e^x}_{v} \cdot \underbrace{2x\mathrm{d}x}_{\mathrm{d}u}\right] \\ &=x^3e^x - 3x^2e^x + 6\int x e^x\mathrm{d}x \\ \text{계속해서 $u=x$, $\mathrm{d}v=e^x\mathrm{d}x$ 로 놓으면 $\mathrm{d}u=\mathrm{d}x$, $v=e^x$ 이다. 이 단계에서 피적분함수의 다항식 부분이 드디어 사라진다.} \\ &=x^3e^x - 3x^2e^x + 6\left[\underbrace{xe^x}_{uv} - \int \underbrace{ e^x}_v \underbrace{\mathrm{d}x}_{\mathrm{d}u}\right]\\ &=x^3e^x-3x^2e^x+6xe^x - 6e^x+C \\ &=e^x\left(x^3-3x^2+6x - 6\right)+C \end{aligned}

이 결과가 타당한지 확인해 보자. ex(x3−3x2+6x−6)+Ce^x\left(x^3-3x^2+6x - 6\right)+C 의 도함수는 x3exx^3e^x 이어야 한다. 곱의 미분법을 이용하여 미분한다.

ddx{ex(x3−3x2+6x−6)+C}=ex(x3−3x2+6x−6)+ex(3x2−6x+6)=ex(x3−3x2+3x2+6x−6x−6+6)=x3ex\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{e^x\left(x^3-3x^2+6x - 6\right)+C\right\} &=e^x\left(x^3-3x^2+6x - 6\right)+e^x\left(3x^2-6x+6\right)\\ &=e^x\left(x^3-3x^2+3x^2+6x-6x-6+6\right)=x^3e^x \end{aligned}

참고: 엄밀하게 부정적분을 구하려면 처음 부분적분을 할 때 곧바로 +C+C 를 더해야 한다. 그러나 부분적분을 사용할 때에는 보통 마지막에 적분을 계산하게 되고, 그 시점에 +C+C 를 더한다. +C+C 는 결국 나타나므로, 마지막까지 계산 과정에 이를 쓰지 않아 식이 복잡해지지 않게 하는 것이 일반적인 관행이다.

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# 부분적분법계산보통자동 분류
CLP-2 Integral Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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