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문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 적분법

부분적분법

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CLP-2 · 1.7절 · 23번우리말 번역

∫ecos⁡xsin⁡(2x)dx\displaystyle\int e^{\cos x}\sin(2x)\mathrm{d}x 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate ∫ecos⁡xsin⁡(2x)dx\displaystyle\int e^{\cos x}\sin(2x)\mathrm{d}x.

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부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

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어디서부터 시작해야 할지 분명하지 않지만, 일반적으로 삼각함수의 인수가 같으면 편리하다. 그래서 항등식 sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x)=2\sin x \cos x 를 이용한다.

∫ecos⁡xsin⁡(2x)dx=2∫ecos⁡xcos⁡xsin⁡x dx이제 w=cos⁡x, dw=−sin⁡xdx 로 치환할 수 있다.=−2∫wewdw여기서부터 적분이 더 익숙해 보일 것이다. u=w, dv=ewdw, du=dw, v=ew 로 놓고 부분적분을 할 수 있다.=−2[wew⏟uv−∫ewdw⏟vdu]=2ew[1−w]+C=2ecos⁡x[1−cos⁡x]+C\begin{aligned} \int e^{\cos x}\sin(2x)\mathrm{d}x&=2\int e^{\cos x}\cos x \sin x\,\mathrm{d}x \\ \text{이제 $w=\cos x$, $\mathrm{d}w=-\sin x \mathrm{d}x$ 로 치환할 수 있다.} \\ &=-2\int we^w\mathrm{d}w \\ \text{여기서부터 적분이 더 익숙해 보일 것이다. $u=w$, $\mathrm{d}v = e^w\mathrm{d}w$, $\mathrm{d}u=\mathrm{d}w$, $v=e^w$ 로 놓고 부분적분을 할 수 있다.} \\ &=-2\left[\underbrace{we^w}_{uv} - \int \underbrace{e^w\mathrm{d}w}_{v\mathrm{d}u}\right]\\ &=2e^w\left[1-w\right]+C\\ &=2e^{\cos x}[1-\cos x]+C \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

It's not obvious where to start, but in general it's nice to have the arguments of our trig functions the same. So, we use the identity sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x)=2\sin x \cos x.

∫ecos⁡xsin⁡(2x)dx=2∫ecos⁡xcos⁡xsin⁡x dxNow we can use the substitution w=cos⁡x, dw=−sin⁡xdx.=−2∫wewdwFrom here the integral should look more familiar. We can use integration by parts with u=w, dv=ewdw, du=dw, and v=ew.=−2[wew⏟uv−∫ewdw⏟vdu]=2ew[1−w]+C=2ecos⁡x[1−cos⁡x]+C\begin{aligned} \int e^{\cos x}\sin(2x)\mathrm{d}x&=2\int e^{\cos x}\cos x \sin x\,\mathrm{d}x \\ \text{Now we can use the substitution $w=\cos x$, $\mathrm{d}w=-\sin x \mathrm{d}x$.} \\ &=-2\int we^w\mathrm{d}w \\ \text{From here the integral should look more familiar. We can use integration by parts with $u=w$, $\mathrm{d}v = e^w\mathrm{d}w$, $\mathrm{d}u=\mathrm{d}w$, and $v=e^w$.} \\ &=-2\left[\underbrace{we^w}_{uv} - \int \underbrace{e^w\mathrm{d}w}_{v\mathrm{d}u}\right]\\ &=2e^w\left[1-w\right]+C\\ &=2e^{\cos x}[1-\cos x]+C \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.7절 · 18번우리말 번역

∫4yarctan⁡(2y) dy\displaystyle\int 4y\arctan(2y) \,\mathrm{d}y 의 값을 구하세요.

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부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

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u=arctan⁡(2y)u = \arctan(2y), dv=4y dy\mathrm{d}v = 4y \,\mathrm{d}y 로 놓고 부분적분을 한다. 그러면 v=2y2v=2y^2 이고 du=2 dy1+(2y)2\mathrm{d}u= \frac{2\, \mathrm{d}y}{1+(2y)^2} 이다:

∫4yarctan⁡(2y) dy=2y2arctan⁡(2y)⏟uv−∫4y2(2y)2+1 dy⏟vdu\begin{aligned} \int 4y\arctan(2y) \,\mathrm{d}y = \underbrace{2y^2\arctan(2y)}_{uv} - \int\underbrace{ \frac{4y^2}{(2y)^2+1} \,\mathrm{d}y}_{v\mathrm{d}u} \end{aligned}

피적분함수 4y2(2y)2+1\frac{4y^2}{(2y)^2+1} 는 유리함수이다. 따라서 남은 적분은 먼저 나눗셈을 한 다음 부분분수 방법으로 계산할 수 있다. 그러나 4y24y2+1=4y2+14y2+1−14y2+1\frac{4y^2}{4y^2+1} = \frac{4y^2+1}{4y^2+1} - \frac{1}{4y^2+1} 임을 알아차리는 것이 더 쉽다. 그러므로 다음을 얻는다:

∫4y24y2+1 dy=∫(1−14y2+1) dy=y−12arctan⁡(2y)+C\begin{aligned} \int \frac{4y^2}{4y^2+1} \,\mathrm{d}y = \int \left(1 - \frac{1}{4y^2+1}\right)\,\mathrm{d}y = y - \frac12\arctan(2y) + C \end{aligned}

따라서 최종 답은 다음과 같다.

∫4yarctan⁡(2y) dy=2y2arctan⁡(2y)−y+12arctan⁡(2y)+C\begin{aligned} \int 4y\arctan(2y) \,\mathrm{d}y = 2y^2\arctan(2y) - y + \frac{1}{2}\arctan(2y) + C \end{aligned}

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