부분적분법 연습문제 — CLP-2 · 1.7절 · 27번

CLP-2 · 1.7절 · 27번우리말 번역

$R$ 을 구간 $0 \le x \le 3$ 에서 곡선 $T(x) = \sqrt{x}e^{3x}$ 과 $B(x) = \sqrt{x}(1+2x)$ 사이의 영역이라 하자. (모든 $0\le x\le 3$ 에 대해 $T(x)\ge B(x)$ 임이 알려져 있다.) $R$ 을 $x$ 축을 중심으로 회전시켜 만든 입체의 부피를 구하세요.

영어 원문 보기

Let $R$ be the region between the curves $T(x) = \sqrt{x}e^{3x}$ and $B(x) = \sqrt{x}(1+2x)$ on the interval $0 \le x \le 3$ . (It is true that $T(x)\ge B(x)$ for all $0\le x\le 3$ .) Compute the volume of the solid formed by rotating $R$ about the $x$ -axis.

정답·풀이 보기

$x$ 의 값을 고정하고 $x$ 축을 중심으로 회전시키면, 안쪽 반지름이 $B(x)$ 이고 바깥쪽 반지름이 $T(x)$ 인 워셔(속이 빈 원판)가 만들어지므로 그 넓이는 $\pi [T(x)^2 - B(x)^2]$ 이다. 이 함수를 $x=0$ 에서 $x=3$ 까지 적분하여 전체 부피 $V$ 를 구한다:

$\begin{aligned} V &= \int_0^3 \pi [T(x)^2 - B(x)^2]\,\mathrm{d}x \\ &= \pi \int_0^3 (\sqrt{x}e^{3x})^2 - (\sqrt{x}(1+2x))^2 \,\mathrm{d}x \\ &= \pi \int_0^3 \big( xe^{6x} - (x+4x^2+4x^3) \big) \,\mathrm{d}x \\ &= \pi \int_0^3 xe^{6x} \,\mathrm{d}x - \pi \Big[ \frac{x^2}{2} + \frac{4x^3}{3} + x^4\Big]_{0}^3 \\ &= \pi \int_0^3 xe^{6x} \,\mathrm{d}x - \pi \Big[\frac{3^2}{2} + \frac{4\cdot3^3}{3} + 3^4\Big] \end{aligned}$

첫 번째 적분에는 $u(x) = x$ , $\mathrm{d}v = e^{6x}\mathrm{d}x$ 로 놓고 부분적분을 사용한다. 그러면 $\mathrm{d}u=\mathrm{d}x$ 이고 $v(x)=\frac16e^{6x}$ 이다:

$\begin{aligned} \int_0^3 xe^{6x} \,\mathrm{d}x &=\underbrace{ \frac{xe^{6x}}{6}}_{uv}\bigg|_{0}^3 - \int_0^3 \underbrace{\frac{1}{6}e^{6x} \,\mathrm{d}x }_{v\mathrm{d}u}\\ &= \frac{3e^{18}}{6} - 0 - \frac{1}{36} e^{6x} \bigg|_{0}^3 = \frac{e^{18}}{2} - \bigg( \frac{e^{18}}{36} - \frac1{36} \bigg). \end{aligned}$

따라서 전체 부피는

$\begin{aligned} V = \pi \bigg[\frac{e^{18}}{2} - \bigg( \frac{e^{18}}{36} - \frac1{36} \bigg) \bigg] - \pi \bigg[\frac{3^2}{2} + \frac{4\cdot3^3}{3} + 3^4 \bigg] = \pi \bigg( \frac{17 e^{18}-4373}{36} \bigg). \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

For a fixed value of $x$ , if we rotate about the $x$ -axis, we form a washer of inner radius $B(x)$ and outer radius $T(x)$ and hence of area $\pi [T(x)^2 - B(x)^2]$ . We integrate this function from $x=0$ to $x=3$ to find the total volume $V$ :

For the first integral, we use integration by parts with $u(x) = x$ , $\mathrm{d}v = e^{6x}\mathrm{d}x$ , so that $\mathrm{d}u=\mathrm{d}x$ and $v(x)=\frac16e^{6x}$ :

Therefore, the total volume is

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.7절 · 25번우리말 번역

점화식.

(a) 다음 점화식을 유도하세요. $\int\sin^n(x)\,\mathrm{d}x=-\frac{\sin^{n-1}(x)\cos(x)}{n} +\frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2}(x)\,\mathrm{d}x.$ (b) $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^8(x)\,\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) 피적분함수의 "부분"은 사인의 거듭제곱이다. 점화식의 우변을 보면, 정확히 같지는 않지만 $\sin^{n-1}x$ 의 도함수와 조금 비슷해 보인다. 그래서 $u=\sin^{n-1}x$ , $\mathrm{d}v=\sin x\,\mathrm{d}x$ 로 놓고 부분적분하면 $\mathrm{d}u=(n-1)\sin^{n-2}x\cos x$ 이고 $v=-\cos x$ 이다.

$\begin{aligned} \int\sin^nx\,\mathrm{d}x &=\underbrace{-\sin^{n-1}x\ \cos x}_{uv}+\underbrace{(n-1)\int \cos^2x\ \sin^{n-2}x\ \mathrm{d}x}_{-\int v\mathrm{d}u} \\ \text{항등식 $\sin^2 x + \cos^2 x =1 $ 을 이용하면,} \\ &=-\sin^{n-1}x\ \cos x+(n-1)\int (1-\sin^2 x)\sin^{n-2}x\ \mathrm{d}x\\ &=-\sin^{n-1}x\ \cos x+(n-1)\int\sin^{n-2}x\ \mathrm{d}x -(n-1)\int\sin^{n}x\ \mathrm{d}x \end{aligned}$

우변의 마지막 항을 좌변으로 옮기면

$\begin{aligned} n\int\sin^nx\,\mathrm{d}x &=-\sin^{n-1}x\ \cos x+(n-1)\int\sin^{n-2}x\ \mathrm{d}x \end{aligned}$

양변을 $n$ 으로 나누면 구하려던 점화식이 얻어진다.

(b) (a)의 점화식에 의해 $n \ge 2$ 이면

$\begin{aligned} \int_0^{\pi/2}\sin^n(x)\,\mathrm{d}x= \frac{n-1}{n}\int_0^{\pi/2}\sin^{n-2}(x)\,\mathrm{d}x \end{aligned}$

이다. 이는 $\sin 0=\cos\frac{\pi}{2}=0$ 이기 때문이다. $n=8,6,4,2$ 에 대해 이 점화식을 적용하면:

$\begin{aligned} \int_0^{\pi/2}\sin^8(x)\,\mathrm{d}x &=\frac{7}{8}\int_0^{\pi/2}\sin^6(x)\,\mathrm{d}x =\frac{7}{8}\cdot\frac{5}{6}\int_0^{\pi/2}\sin^4(x)\,\mathrm{d}x =\frac{7}{8}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{3}{4}\int_0^{\pi/2}\sin^2(x)\,\mathrm{d}x \\ &=\frac{7}{8}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\int_0^{\pi/2}\,\mathrm{d}x =\frac{7}{8}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2} =\frac{35}{256}\pi \end{aligned}$

계산기를 사용하면 이 값은 약 $0.4295$ 임을 알 수 있다.

이 문제로 이어서 풀기

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