삼각함수의 적분 연습문제 — CLP-2 · 1.8절 · 2번

CLP-2 · 1.8절 · 2번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle\int \sec^n x \tan x \mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요. 여기서 $n$ 은 0보다 큰 정수입니다.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int \sec^n x \tan x \mathrm{d}x$ , where $n$ is a strictly positive integer.

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

치환 $u=\sec x$ , $\mathrm{d}u=\sec x \tan x ~\mathrm{d}x$ 를 사용한다.

$\begin{aligned} \int \sec^n x \tan x \mathrm{d}x&=\int \sec^{n-1}x \cdot \sec x \tan x~\mathrm{d}x = \int u^{n-1}\mathrm{d}u \\ \text{$n$ 이 양수이므로 $n-1 \neq -1$ 이고, 따라서 거듭제곱 법칙으로 부정적분한다.} \\ &=\frac{u^n}{n}+C = \frac{1}{n}\sec^n x +C \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We use the substitution $u=\sec x$ , $\mathrm{d}u=\sec x \tan x ~\mathrm{d}x$ .

$\begin{aligned} \int \sec^n x \tan x \mathrm{d}x&=\int \sec^{n-1}x \cdot \sec x \tan x~\mathrm{d}x = \int u^{n-1}\mathrm{d}u \\ \text{Since $n$ is positive, $n-1 \neq -1$, so we antidifferentiate using the power rule.} \\ &=\frac{u^n}{n}+C = \frac{1}{n}\sec^n x +C \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.8절 · 3번우리말 번역

기억하기 더 쉬운 항등식 $\sin^2x+\cos^2 x =1$ 로부터 항등식 $\tan^2 x +1 = \sec^2 x$ 를 유도하세요.

다 풀었으면 정답 확인

양변을 $\cos^2 x$ 로 나누고 간단히 한다.

$\begin{aligned} \sin^2x+\cos^2 x &=1 \\\frac{\sin^2x+\cos^2 x }{\cos^2 x}&=\frac{1}{\cos^2 x} \\\frac{\sin^2x}{\cos^2 x}+1&=\sec^2 x \\\tan^2 x+1&=\sec^2 x \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 삼각함수의 적분계산기본자동 분류