삼각함수의 적분 연습문제 — CLP-2 · 1.8절 · 3번

CLP-2 · 1.8절 · 3번대학 수준우리말 번역

기억하기 더 쉬운 항등식 $\sin^2x+\cos^2 x =1$ 로부터 항등식 $\tan^2 x +1 = \sec^2 x$ 를 유도하세요.

영어 원문 보기

Derive the identity $\tan^2 x +1 = \sec^2 x$ from the easier-to-remember identity $\sin^2x+\cos^2 x =1$ .

정답·풀이 보기

양변을 $\cos^2 x$ 로 나누고 간단히 한다.

$\begin{aligned} \sin^2x+\cos^2 x &=1 \\\frac{\sin^2x+\cos^2 x }{\cos^2 x}&=\frac{1}{\cos^2 x} \\\frac{\sin^2x}{\cos^2 x}+1&=\sec^2 x \\\tan^2 x+1&=\sec^2 x \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We divide both sides by $\cos^2 x$ , and simplify.

$\begin{aligned} \sin^2x+\cos^2 x &=1 \\\frac{\sin^2x+\cos^2 x }{\cos^2 x}&=\frac{1}{\cos^2 x} \\\frac{\sin^2x}{\cos^2 x}+1&=\sec^2 x \\\tan^2 x+1&=\sec^2 x \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.8절 · 1번우리말 번역

$\displaystyle\int_0^{\pi/4} \sin x \cos^n x ~\mathrm{d}x$ 의 값을 치환 $u=\cos x$ 를 이용하여 구하려고 합니다. 치환이 성립하기 위해 참이어야 하는 것은 다음 중 어느 것입니까?

(a) $n$ 은 짝수여야 한다 (b) $n$ 은 홀수여야 한다 (c) $n$ 은 정수여야 한다 (d) $n$ 은 양수여야 한다 (e) $n$ 은 임의의 실수일 수 있다

다 풀었으면 정답 확인

$u=\cos x$ 이면 $\mathrm{d}u=-\sin x\,\mathrm{d}x$ 이다. $n \neq -1$ 이면

$\begin{aligned} \int_0^{\pi/4} \sin x \cos^n x ~\mathrm{d}x&= - \int_1^{1/\sqrt2} u^n \mathrm{d}u = \left[-\frac{1}{n+1}u^{n+1}\right]_1^{1/\sqrt2}=\frac{1}{n+1}\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}^{n+1}}\right) \\ \text{$n=-1$ 이면} \\ \int_0^{\pi/4} \sin x \cos^n x ~\mathrm{d}x&= - \int_1^{1/\sqrt2} u^n \mathrm{d}u = - \int_1^{1/\sqrt2} \frac{1}{u} \mathrm{d}u =\bigg[ -\log|u|\bigg]_1^{1/\sqrt2} \\ & =-\log\left(\frac{1}{\sqrt2}\right) = \frac{1}{2}\log 2 \end{aligned}$

따라서 (e) $n$ 은 임의의 실수일 수 있다.

이 문제로 이어서 풀기

# 삼각함수의 적분계산기본자동 분류