삼각함수의 적분 연습문제 — CLP-2 · 1.8절 · 24번

CLP-2 · 1.8절 · 24번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle\int \tan^5 x \cos^2 x ~\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int \tan^5 x \cos^2 x ~\mathrm{d}x$ .

정답·풀이 보기

$\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ 임을 떠올리자.

$\begin{aligned} \int \tan^5 x \cos^2 x ~\mathrm{d}x&=\int \frac{\sin^5 x}{\cos^5 x}\cos^2 x ~\mathrm{d}x =\int \frac{\sin^5 x}{\cos^3 x}~\mathrm{d}x \\ \text{$u=\cos x$ 로 치환하면 $\mathrm{d}u=-\sin x~\mathrm{d}x$ 이고 $\sin^2 x = 1-\cos^2 x = 1-u^2$ 이다.} \\ &=\int \frac{\sin^4 x}{\cos^3 x}~\sin x~\mathrm{d}x =-\int \frac{(1-u^2)^2}{u^3}~\mathrm{d}u\\ &=-\int \frac{1-2u^2+u^4}{u^3}~\mathrm{d}u= \int \left(-\frac{1}{u^3}+\frac{2}{u}-u\right)\mathrm{d}u\\ &=\frac{1}{2u^2}+2\log|u|-\frac{1}{2}u^2+C\\ &=\frac{1}{2\cos^2 x}+2\log|\cos x|-\frac{1}{2}\cos^2 x +C \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Recall $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ .

$\begin{aligned} \int \tan^5 x \cos^2 x ~\mathrm{d}x&=\int \frac{\sin^5 x}{\cos^5 x}\cos^2 x ~\mathrm{d}x =\int \frac{\sin^5 x}{\cos^3 x}~\mathrm{d}x \\ \text{Substitute $u=\cos x$, so $\mathrm{d}u=-\sin x~\mathrm{d}x$ and $\sin^2 x = 1-\cos^2 x = 1-u^2$.} \\ &=\int \frac{\sin^4 x}{\cos^3 x}~\sin x~\mathrm{d}x =-\int \frac{(1-u^2)^2}{u^3}~\mathrm{d}u\\ &=-\int \frac{1-2u^2+u^4}{u^3}~\mathrm{d}u= \int \left(-\frac{1}{u^3}+\frac{2}{u}-u\right)\mathrm{d}u\\ &=\frac{1}{2u^2}+2\log|u|-\frac{1}{2}u^2+C\\ &=\frac{1}{2\cos^2 x}+2\log|\cos x|-\frac{1}{2}\cos^2 x +C \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.8절 · 25번우리말 번역

$\displaystyle\int \frac{1}{\cos^2 \theta}\mathrm{d}\theta$ 의 값을 구하세요.

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

다 풀었으면 정답 확인

시컨트의 정의를 이용하면 이 적분을 더 익숙한 꼴로 바꿀 수 있다. $\int \frac{1}{\cos^2 \theta}~\mathrm{d}\theta = \int \sec^2\theta~\mathrm{d}\theta = \tan \theta +C$

이 문제로 이어서 풀기

# 삼각함수의 적분계산도전자동 분류