삼각함수의 적분 연습문제 — CLP-2 · 1.8절 · 26번

CLP-2 · 1.8절 · 26번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle\int \cot x~\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int \cot x~\mathrm{d}x$ .

정답·풀이 보기

$\cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x}$ 로 고쳐 쓰고, $u=\sin x$ , $\mathrm{d}u=\cos x~\mathrm{d}x$ 로 치환한다.

$\begin{aligned} \int \cot x~\mathrm{d}x&= \int \frac{\cos x}{\sin x}~\mathrm{d}x = \int \frac{1}{u}~\mathrm{d}u\\ &=\log|u|+C = \log|\sin x|+C \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We re-write $\cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x}$ , and use the substitution $u=\sin x$ , $\mathrm{d}u=\cos x~\mathrm{d}x$ .

$\begin{aligned} \int \cot x~\mathrm{d}x&= \int \frac{\cos x}{\sin x}~\mathrm{d}x = \int \frac{1}{u}~\mathrm{d}u\\ &=\log|u|+C = \log|\sin x|+C \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.8절 · 27번우리말 번역

$\displaystyle\int e^x\sin(e^x)\cos(e^x) ~\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

다 풀었으면 정답 확인

풀이 1: 먼저 쉽게 떠오르는 치환 $w=e^x$ , $\mathrm{d}w=e^x \mathrm{d}w$ 로 시작한다.

$\begin{aligned} \int e^x\sin(e^x)\cos(e^x) ~\mathrm{d}x&= \int \sin w \cos w ~\mathrm{d}w \\ \text{이제 또 다른 치환 $u=\sin w$, $\mathrm{d}u=\cos w~\mathrm{d}w$ 가 보인다.} \\ &=\int u~\mathrm{d}u=\frac{1}{2}u^2+C=\frac{1}{2}\sin^2 w +C\\ &=\frac{1}{2}\sin^2(e^x)+C \end{aligned}$

풀이 2: $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\sin(e^x)\} = e^x \cos(e^x)$ 임에 주목한다. 이는 $u=\sin(e^x)$ , $\mathrm{d}u = e^x \cos(e^x)~\mathrm{d}x$ 로 치환하면 된다는 것을 알려 준다.

$\begin{aligned} \int e^x\sin(e^x)\cos(e^x) ~\mathrm{d}x&= \int u~\mathrm{d}u =\frac{1}{2}u^2+C = \frac{1}{2}\sin^2(e^x)+C \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 삼각함수의 적분계산도전자동 분류