삼각함수의 적분 연습문제 — CLP-2 · 1.8절 · 27번

CLP-2 · 1.8절 · 27번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle\int e^x\sin(e^x)\cos(e^x) ~\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int e^x\sin(e^x)\cos(e^x) ~\mathrm{d}x$ .

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부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

풀이 1: 먼저 쉽게 떠오르는 치환 $w=e^x$ , $\mathrm{d}w=e^x \mathrm{d}w$ 로 시작한다.

$\begin{aligned} \int e^x\sin(e^x)\cos(e^x) ~\mathrm{d}x&= \int \sin w \cos w ~\mathrm{d}w \\ \text{이제 또 다른 치환 $u=\sin w$, $\mathrm{d}u=\cos w~\mathrm{d}w$ 가 보인다.} \\ &=\int u~\mathrm{d}u=\frac{1}{2}u^2+C=\frac{1}{2}\sin^2 w +C\\ &=\frac{1}{2}\sin^2(e^x)+C \end{aligned}$

풀이 2: $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\sin(e^x)\} = e^x \cos(e^x)$ 임에 주목한다. 이는 $u=\sin(e^x)$ , $\mathrm{d}u = e^x \cos(e^x)~\mathrm{d}x$ 로 치환하면 된다는 것을 알려 준다.

$\begin{aligned} \int e^x\sin(e^x)\cos(e^x) ~\mathrm{d}x&= \int u~\mathrm{d}u =\frac{1}{2}u^2+C = \frac{1}{2}\sin^2(e^x)+C \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Solution 1: We begin with the obvious substitution, $w=e^x$ , $\mathrm{d}w=e^x \mathrm{d}w$ .

$\begin{aligned} \int e^x\sin(e^x)\cos(e^x) ~\mathrm{d}x&= \int \sin w \cos w ~\mathrm{d}w \\ \text{Now we see another substitution, $u=\sin w$, $\mathrm{d}u=\cos w~\mathrm{d}w$.} \\ &=\int u~\mathrm{d}u=\frac{1}{2}u^2+C=\frac{1}{2}\sin^2 w +C\\ &=\frac{1}{2}\sin^2(e^x)+C \end{aligned}$

Solution 2: Notice that $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\sin(e^x)\} = e^x \cos(e^x)$ . This suggests to us the substitution $u=\sin(e^x)$ , $\mathrm{d}u = e^x \cos(e^x)~\mathrm{d}x$ .

$\begin{aligned} \int e^x\sin(e^x)\cos(e^x) ~\mathrm{d}x&= \int u~\mathrm{d}u =\frac{1}{2}u^2+C = \frac{1}{2}\sin^2(e^x)+C \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 3.2절 · 53번우리말 번역

다음 연습문제에서 아래 정보를 이용하세요. $[a,b]$ 에서 두 함수 f 와 g 의 내적은 $f(x)\cdot g(x)=\langle f,g\rangle ={\int }_{a}^{b}f\cdot gdx$ 로 정의한다. 서로 다른 두 함수 f 와 g 가 $\langle f,g\rangle =0$ 이면 직교한다고 한다.

$\{\sin (2x),\cos (3x)\}$ 가 구간 $[-\pi ,\pi ]$ 에서 직교함을 보이세요.

다 풀었으면 정답 확인

${\int }_{-\pi }^{\pi }\sin (2x)\cos (3x)dx=0$

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