삼각치환 연습문제 — CLP-2 · 1.9절 · 9번

CLP-2 · 1.9절 · 9번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle\int\frac{x+1}{\sqrt{2x^2+4x}} \, \mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

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Evaluate $\displaystyle\int\frac{x+1}{\sqrt{2x^2+4x}} \, \mathrm{d}x$ .

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제곱근 안의 근의 공식을 보면 삼각치환이 떠오르지만, 좋은 습관을 기르기 위해 먼저 더 쉬운 방법이 있는지 확인해 보자. $u=2x^2+4x$ 로 놓으면 $\mathrm{d}u = (4x+4)~\mathrm{d}x$ 이므로 $\frac{1}{4}\,\mathrm{d}u=(x+1)\,\mathrm{d}x$ 이다. 이 치환은 (완전제곱식을 만드는 것에서 시작하게 되는) 삼각치환보다 더 쉬워 보인다.

$\begin{aligned} \int\frac{x+1}{\sqrt{2x^2+4x}} \, \mathrm{d}x&=\frac{1}{4}\int \frac{1}{\sqrt{u}}\,\mathrm{d}u = \frac{1}{2}\sqrt{u}+C = \frac{1}{2}\sqrt{2x^2+4x}+C \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The quadratic formula underneath the square root makes us think of a trig substitution, but in the interest of developing good habits, let's check for an easier way first. If we let $u=2x^2+4x$ , then $\mathrm{d}u = (4x+4)~\mathrm{d}x$ , so $\frac{1}{4}\,\mathrm{d}u=(x+1)\,\mathrm{d}x$ . This substitution looks easier than a trig substitution (which would start with completing the square).

$\begin{aligned} \int\frac{x+1}{\sqrt{2x^2+4x}} \, \mathrm{d}x&=\frac{1}{4}\int \frac{1}{\sqrt{u}}\,\mathrm{d}u = \frac{1}{2}\sqrt{u}+C = \frac{1}{2}\sqrt{2x^2+4x}+C \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.9절 · 10번우리말 번역

$\displaystyle\int\frac{\mathrm{d}x}{x^2\sqrt{x^2+16}}$ 의 값을 구하세요.

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$x=4\tan u$ , $\mathrm{d}x=4 \sec^2u\,\mathrm{d}u$ 로 치환한다.

$\begin{aligned} \int\frac{1}{x^2\sqrt{x^2+16}}\,\mathrm{d}x &=\int \frac{1}{16\tan^2 u \sqrt{16\tan^2 u+16}}\,4\sec^2 u\,\mathrm{d}u \\[0.1in] &=\int \frac{\sec^2u}{16\tan^2u\sec u}\,\mathrm{d}u =\frac{1}{16}\int \frac{\sec u}{\tan^2u}\,\mathrm{d}u \\[0.1in] &= \frac{1}{16}\int\frac{\cos u}{\sin^2 u}\,\mathrm{d}u \end{aligned}$

적분을 마무리하기 위해 $v=\sin u$ , $\mathrm{d}v=\cos u\,\mathrm{d}u$ 로 치환한다.

$\begin{aligned} \int\frac{1}{x^2\sqrt{x^2+16}}\,\mathrm{d}x &=\frac{1}{16} \int\frac{\cos u}{\sin^2 u}\,\mathrm{d}u = \frac{1}{16}\int\frac{\mathrm{d}v}{v^2} =-\frac{1}{16v} +C \\ &=-\frac{1}{16\sin u} +C =-\frac{1}{16}\dfrac{\sqrt{x^2+16}}{x}+C \smash{ ![그림](clp/tikz/6f5ffe535f.png) } \end{aligned}$

$\sin u$ 를 구하기 위해 각 $u$ 를 갖고 $\tan u = \frac{x}{4}$ 인 직각삼각형을 그린다. 각 $u$ 의 반대쪽 변의 길이를 $x$ , 인접한 변의 길이를 $4$ 로 놓으면, 피타고라스 정리에 의해 빗변의 길이는 $\sqrt{x^2+16}$ 이다. 따라서 $\sin u = \dfrac{\sqrt{x^2+16}}{x}$ 이다.

확인을 위해 답의 도함수를 살펴보면

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(-\frac{1}{16}\frac{\sqrt{x^2+16}}{x}+C\right) &=\frac{1}{16}\frac{\sqrt{x^2+16}}{x^2} -\frac{1}{16}\frac{x}{x\sqrt{x^2+16}} =\frac{1}{16}\frac{(x^2+16)-x^2}{x^2\sqrt{x^2+16}} \\ &=\frac{1}{x^2\sqrt{x^2+16}} \end{aligned}$

이고, 이는 정확히 피적분함수와 같다.

이 문제로 이어서 풀기

# 삼각치환계산보통자동 분류