삼각치환

치환 $x=\tan u$, $\mathrm{d}x=\sec^2 u~\mathrm{d}u$ 를 이용한다.

$$\begin{aligned} \int\dfrac{\sqrt{1+x^2}^3}{x}\mathrm{d}x&=\int\frac{\sqrt{1+\tan^2 u}^3}{\tan u}\sec^2 u~\mathrm{d}u \\&=\int\frac{\sec^3u}{\tan u}\sec^2 u~\mathrm{d}u \\&=\int\frac{(\sec^2u)^2}{\tan u}\sec u~\mathrm{d}u \\&=\int\frac{(\tan^2u+1)^2}{\tan u}\sec u~\mathrm{d}u \\&=\int\frac{\tan^4u+2\tan^2 u + 1}{\tan u}\sec u~\mathrm{d}u \\&=\int \tan^3 u \sec u ~\mathrm{d}u + \int 2\sec u \tan u~\mathrm{d}u + \int \frac{\sec u}{\tan u}~\mathrm{d}u \\ \text{첫 번째 적분에서는 치환 $w=\sec u$ 를 이용한다. 두 번째는 $2\sec u$ 의 부정적분이다. 세 번째는 $\frac{\sec u}{\tan u} = \frac{1}{\cos u}\cdot \frac{\cos u}{\sin u} = \csc u$~로 간단히 한다.} \\ &=\int\bigg((\sec^2 u -1)\sec u \tan u\bigg)~\mathrm{d}u + 2\sec u + \log|\cot u - \csc u |+C\\ &=\int (w^2-1)~\mathrm{d}w+2\sec u + \log|\cot u - \csc u|+C\\ &=\frac{1}{3}w^3-w+2\sec u + \log|\cot u - \csc u|+C\\ &=\frac{1}{3}\sec^3u-\sec u+2\sec u + \log|\cot u - \csc u|+C \\ \smash{  } \qquad &=\frac{1}{3}\sec^3u+\sec u + \log|\cot u - \csc u|+C \\ \text{처음에 치환 $x=\tan u$ 를 사용했다. 그러면 $\cot u = \frac{1}{x}$ 이다. $\csc u$ 와 $\sec u$ 를 구하기 위해, 각 $u$ 가 있고 높이가 $x$, 밑변이 $1$ 인 직각삼각형을 그린다. 피타고라스 정리로 빗변의 길이를 구할 수 있다.} \\ &=\frac{1}{3}\sqrt{1+x^2}^3+\sqrt{1+x^2}+\log\left| \frac{1}{x}-\frac{\sqrt{1+x^2}}{x} \right|+C \\&=\frac{1}{3}\sqrt{1+x^2}(4+x^2)+\log\left|\frac{1-\sqrt{1+x^2}}{x} \right|+C \end{aligned}$$