삼각치환 연습문제 — CLP-2 · 1.9절 · 28번

CLP-2 · 1.9절 · 28번대학 수준우리말 번역

(a) 상수 $a$ 가 양수이고, 적분할 식에 $\sqrt{a^2-x^2}$ 항이 들어 있어서 치환 $x=a\sin u$ (역함수는 $u = \arcsin(x/a)$ )를 쓴다고 하자. 그러면 $\sqrt{a^2-x^2} = \sqrt{a^2\cos^2u}= |a\cos u|$ 이다. 어떤 경우에 $|a\cos u|\neq a\cos u$ 인지 구하세요. (b) 상수 $a$ 가 양수이고, 적분할 식에 $\sqrt{a^2+x^2}$ 항이 들어 있어서 치환 $x=a\tan u$ (역함수는 $u = \arctan(x/a)$ )를 쓴다고 하자. 그러면 $\sqrt{a^2+x^2} = \sqrt{a^2\sec^2u}= |a\sec u|$ 이다. 어떤 경우에 $|a\sec u|\neq a\sec u$ 인지 구하세요. (c) 상수 $a$ 가 양수이고, 적분할 식에 $\sqrt{x^2-a^2}$ 항이 들어 있어서 치환 $x=a\sec u$ (역함수는 $u = \mathop{\mathrm{arcsec}}(x/a)=\arccos(a/x)$ )를 쓴다고 하자. 그러면 $\sqrt{x^2-a^2} = \sqrt{a^2\tan^2u}= |a\tan u|$ 이다. 어떤 경우에 $|a\tan u|\neq a\tan u$ 인지 구하세요.

영어 원문 보기

(a) Suppose we are evaluating an integral that contains the term $\sqrt{a^2-x^2}$ , where $a$ is a positive constant, and we use the substitution $x=a\sin u$ (with inverse $u = \arcsin(x/a)$ ), so that $\sqrt{a^2-x^2} = \sqrt{a^2\cos^2u}= |a\cos u|$ Under what circumstances is $|a\cos u|\neq a\cos u$ ? (b) Suppose we are evaluating an integral that contains the term $\sqrt{a^2+x^2}$ , where $a$ is a positive constant, and we use the substitution $x=a\tan u$ (with inverse $u = \arctan(x/a)$ ), so that $\sqrt{a^2+x^2} = \sqrt{a^2\sec^2u}= |a\sec u|$ Under what circumstances is $|a\sec u|\neq a\sec u$ ? (c) Suppose we are evaluating an integral that contains the term $\sqrt{x^2-a^2}$ , where $a$ is a positive constant, and we use the substitution $x=a\sec u$ (with inverse $u = \mathop{\mathrm{arcsec}}(x/a)=\arccos(a/x)$ ), so that $\sqrt{x^2-a^2} = \sqrt{a^2\tan^2u}= |a\tan u|$ Under what circumstances is $|a\tan u|\neq a\tan u$ ?

정답·풀이 보기

임의의 값 $X$ 에 대해 $|X| = \left\{\begin{array}{rl} X&\text{(}X \ge 0\text{ 일 때)}\\ -X&\text{(}X \le 0\text{ 일 때)}\end{array}\right.$ 임을 기억하자. 따라서 $|X| \neq X$ 인 것은 정확히 $X<0$ 일 때이다.

(a) 아크사인의 치역은 $\big[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\big]$ 이다. 따라서 $u=\arcsin(x/a)$ 이므로 $u$ 는 $\big[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\big]$ 범위에 있다. 그러므로 $\cos u \geq 0$ 이다. $a$ 가 양수이므로 $a\cos u \ge 0$ 이고, 따라서 $a\cos u = |a\cos u|$ 이다. 즉, $\sqrt{a^2-x^2}=|a\cos u|=a\cos u$ 가 항상 성립한다.

(b) 아크탄젠트의 치역은 $\big(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\big)$ 이다. 따라서 $u=\arctan(x/a)$ 이므로 $u$ 는 $\big(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\big)$ 범위에 있다. 그러므로 $\sec u = \frac{1}{\cos u} >0$ 이다. $a$ 가 양수이므로 $a\sec u > 0$ 이고, 따라서 $a\sec u = |a\sec u|$ 이다. 즉, $\sqrt{a^2+x^2}=|a\sec u|=a\sec u$ 가 항상 성립한다.

(c) 아크코사인의 치역은 $\big[0,\pi \big]$ 이다. 따라서 $u=\mathop{\mathrm{arcsec}}(x/a) = \arccos(a/x)$ 이므로 $u$ 는 $\big[0,\pi\big]$ 범위에 있다. (사실 시컨트는 $\pi/2$ 에서 정의되지 않으므로 $u$ 는 $[0,\frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2},\pi]$ 범위에 있다.) $|a\tan u| \neq a\tan u$ 이면 $\tan u <0$ 이고, 이는 $u$ 가 $\big (\frac{\pi}{2},\pi)$ 범위에 있을 때 일어난다. 이 범위는 $-1<\cos u <0$ 인 범위와 같으므로 $-1<\frac{a}{x}<0$ 이다. $\frac{a}{x}<0$ 이므로 $a$ 와 $x$ 의 부호가 다르고, 따라서 $x<0$ 이다. 그러면 $-1<\frac{a}{x}$ 이므로 $x<-a$ 이기도 하다.

그러므로 $\sqrt{x^2-a^2} = |a\tan u| = -a\tan u \neq a\tan u$ 가 성립하는 것은 정확히 $x< -a$ 일 때이다.

원본 교재 풀이(영어)

Remember that for any value $X$ , $|X| = \left\{\begin{array}{rl} X&\text{if }X \ge 0\\ -X&\text{if }X \le 0 \end{array}\right.$ So, $|X| \neq X$ precisely when $X<0$ .

(a) The range of arcsine is $\big[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\big]$ . So, since $u=\arcsin(x/a)$ , $u$ is in the range $\big[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\big]$ . Therefore $\cos u \geq 0$ . Since $a$ is positive, $a\cos u \ge 0$ , so $a\cos u = |a\cos u|$ . That is, $\sqrt{a^2-x^2}=|a\cos u|=a\cos u$ all the time.

(b) The range of arctangent is $\big(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\big)$ . So, since $u=\arctan(x/a)$ , $u$ is in the range $\big(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\big)$ . Therefore $\sec u = \frac{1}{\cos u} >0$ . Since $a$ is positive, $a\sec u > 0$ , so $a\sec u = |a\sec u|$ .That is, $\sqrt{a^2+x^2}=|a\sec u|=a\sec u$ all the time.

(c) The range of arccosine is $\big[0,\pi \big]$ . So, since $u=\mathop{\mathrm{arcsec}}(x/a) = \arccos(a/x)$ , $u$ is in the range $\big[0,\pi\big]$ . (Actually, it's in the range $[0,\frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2},\pi]$ , since secant is undefined at $\pi/2$ .) If $|a\tan u| \neq a\tan u$ , then $\tan u <0$ , which happens when $u$ is in the range $\big (\frac{\pi}{2},\pi)$ . This is the same range over which $-1<\cos u <0$ , and so $-1<\frac{a}{x}<0$ . Since $\frac{a}{x}<0$ , $a$ and $x$ have different signs, so $x<0$ . Then since $-1<\frac{a}{x}$ , also $x<-a$ .

So, $\sqrt{x^2-a^2} = |a\tan u| = -a\tan u \neq a\tan u$ happens precisely when when $x< -a$ .

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 3.3절 · 42번우리말 번역

두 가지 서로 다른 치환을 사용하여 적분 $\int \frac{dx}{\sqrt{1-{x}^{2}}}$ 의 값을 구하세요. 먼저 $x=\cos \theta$ 로 놓고 삼각치환을 이용하여 값을 구하세요. 다음으로 $x=\sin \theta$ 로 놓고 삼각치환을 이용하세요. 두 답은 같은가요?

다 풀었으면 정답 확인

$\arcsin (x)+C$ 가 공통된 답이다.

이 문제로 이어서 풀기

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