일 연습문제 — CLP-2 · 2.1절 · 24번

CLP-2 · 2.1절 · 24번대학 수준우리말 번역

물이 새는 양동이가 우물에서 물 5 L를 담아 올리는데, 10초마다 1 L씩 물이 떨어져 나갑니다. 이 양동이를 2초에 1미터씩 일정한 속력으로 5미터 끌어올렸다면, 한 일의 양은 얼마인지 구하세요.

밧줄과 양동이의 질량은 무시할 수 있고 물 1리터의 질량은 1 kg이라고 가정하며, 중력가속도는 $9.8$ m/sec $^2$ 을 사용하세요.

영어 원문 보기

A leaky bucket picks up 5 L of water from a well, but drips out 1 L every ten seconds. If the bucket was hauled up 5 metres at a constant speed of 1 metre every two seconds, how much work was done?

Assume the rope and bucket have negligible mass and one litre of water has 1 kg mass, and use $9.8$ m/sec $^2$ for the acceleration due to gravity.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

먼저 끌어올린 시간을 끌어올린 길이로 바꾸어 보자. 밧줄을 $y$ 미터 끌어올렸을 때 $2y$ 초가 지났으므로 양동이에서 $\frac{1}{5}y$ 리터의 물이 새어 나갔고, $5-\frac{1}{5}y$ 리터가 남는다. (이는 $\frac{1}{5}y \leq 5$ 일 때만 의미가 있지만, 여기서는 $y$ 가 0에서 5까지인 경우만 생각하므로 문제가 되지 않는다. 즉, 더 이상 샐 물이 없는 빈 양동이를 끌어올리는 경우는 없다.)

밧줄을 $y$ 미터 끌어올렸을 때 양동이 속 물의 질량은 $(5-\frac{1}{5}y)$ kg이므로, 물에 작용하는 중력은 $9.8(5-\frac{1}{5}y)$ N이다. 밧줄을 5미터 끌어올리므로 한 일의 양은 다음과 같다. $W = \int_0^5 9.8\left(5-\frac{1}{5}y\right) \,\mathrm{d}y = 9.8\left[5y-\frac{1}{10}y^2\right]_0^5 = 9.8\left[25-2.5\right]=220.5\text{ J}$

원본 교재 풀이(영어)

Let's start by converting from time spent pulling to amount pulled. When $y$ metres of rope have been pulled up, $2y$ seconds have passed, so $\frac{1}{5}y$ litres of water have leaked out of the bucket, leaving $5-\frac{1}{5}y$ litres. (This only makes sense when $\frac{1}{5}y \leq 5$ , but we only consider values of $y$ from 0 to 5, so it's not a problem. That is, we're never hauling up an empty bucket that can't leak any more.)

When we've pulled up $y$ metres of rope, the mass in the bucket is $(5-\frac{1}{5}y)$ kg, so the force of gravity acting on it is $9.8(5-\frac{1}{5}y)$ N. Since we pull up 5 metres of rope, the work done is: $W = \int_0^5 9.8\left(5-\frac{1}{5}y\right) \,\mathrm{d}y = 9.8\left[5y-\frac{1}{10}y^2\right]_0^5 = 9.8\left[25-2.5\right]=220.5\text{ J}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 2.1절 · 25번우리말 번역

질량이 각각 $m_1$ , $m_2$ 인 두 물체 사이의 중력은 $F = G\dfrac{m_1m_2}{r^2}$ 이다. 여기서 $r$ 은 두 물체 사이의 거리이고 $G$ 는 중력 상수이다.

지구와 달 사이의 중력이 무시할 수 있을 만큼 충분히 멀리 두 천체를 떼어 놓는 데 필요한 일은 얼마인지 구하세요.

지구의 질량은 $6 \times 10^{24}$ kg 이고 달의 질량은 $7 \times 10^{22}$ kg 이며, 현재 두 천체는 서로 $400\,000$ km 떨어져 있다고 가정하세요. 또한 $G = 6.7\times 10^{-11} \ \frac{\text{m}^3}{\text{kg}\cdot\text{sec}^2}$ 이고, 지구와 달에 작용하는 힘은 둘 사이의 중력뿐이라고 가정하세요.

다 풀었으면 정답 확인

두 물체 사이의 중력 공식에 따르면 지구와 달은 아무리 멀리 떨어져 있어도 서로 중력으로 끌어당기므로, 우리가 구하려는 것은 두 천체를 무한히 멀리 떼어 놓는 데 필요한 일이다. 즉 다음을 계산하면 된다. $\displaystyle\int_a^\infty F(r)\,\mathrm{d}r$ , 여기서 $a = 400\,000\,000$ m 이다.

$m_1$ 과 $m_2$ 를 문제에서 주어진 지구와 달의 질량이라 하면 다음과 같다.

$\begin{aligned}Gm_1m_2 &= \left(6.7\times 10^{-11} \ \frac{\text{m}^3}{\text{kg}\cdot\text{sec}^2}\right) \left(6 \times 10^{24}\text{ kg}\right)\left(7 \times 10^{22}\text{ kg}\right)\\ &\approx 2.8 \times 10^{37} ~\frac{\text{kg}\cdot\text{m}^3}{\text{sec}^2} \end{aligned}$

이제 일을 계산하자.

$\begin{aligned} W&=\int_a^\infty F(r)\,\mathrm{d}r =\lim_{b \to \infty} \int_a^b G\dfrac{m_1m_2}{r^2}\,\mathrm{d}r \\&= (Gm_1m_2)\lim_{b \to \infty}\left[-\frac{1}{r}\right]_a^b \\ &=(Gm_1m_2)\lim_{b \to \infty} \left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)\\&= \frac{Gm_1m_2}{a}\\ &\approx\frac{2.8 \times 10^{37} ~\frac{\text{kg}\cdot\text{m}^3}{\text{sec}^2}}{4\times 10^8 \text{ m}}\\ &=7 \times 10^{28} \text{ J} \end{aligned}$

참고: 지구와 달 사이의 중력은 두 천체가 멀어질수록 약해지므로, 1킬로미터씩 옮기는 데 드는 일은 점점 줄어든다. 두 천체를 유한한 거리만큼 떼어 놓는 경우, 그 거리가 아무리 크더라도 필요한 일은 항상 $7\times 10^{28}$ 줄보다 작다. 아주 아주 먼(그러나 유한한) 거리만큼 떼어 놓으면, 한 일은 $7\times 10^{28}$ 줄에 매우 가까워진다(그래도 그보다는 작다).

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