함수의 평균값

이 명제는 참일 것 같다. $x$ 가 무한대로 커짐에 따라 $f$ 가 0에 점점 가까워지면, 시간이 지날수록 뒤쪽의 값들이 우리가 보는 전체 구간에서 차지하는 비중이 점점 커지므로, $x$ 가 클 때 평균은 $f(x)$, 즉 0과 점점 비슷해질 것이다. 이는 출발점이 되는 직관일 뿐 엄밀한 논증은 아니다. 놓친 것이 없는지 확인하기 위해 평균의 정의를 이용하여 $A(x)$ 를 나타내 보자.

$$\begin{aligned} A(x)&=\frac{1}{x}\int_0^x f(t)\,\mathrm{d}t\\ \lim_{x \to \infty}A(x)&=\lim_{x \to \infty}\frac{1}{x}\int_0^x f(t)\,\mathrm{d}t \\ \text{만약 $\int_0^\infty f(t) \,\mathrm{d}t$ 가 수렴하면 이 극한은 0이므로 명제는 참이다. 그러므로 수렴하지 않는다고 하자. $f(x)$ 가 양수이므로 $\lim\limits_{x \to \infty} \int_0^x f(t)\,\mathrm{d}(t) = \infty$ 이고, 따라서 로피탈의 정리를 쓸 수 있다. 분자를 미분할 때는 미적분의 기본 정리 1부를 사용한다.} \\ \lim_{x \to \infty}A(x)&=\lim_{x \to \infty}\frac{\int_0^x f(t)\,\mathrm{d}t}{x} = \lim_{x \to \infty}\frac{f(t)}{1}=0 \end{aligned}$$

따라서 $\int_0^xf(t)\,\mathrm{d}t$ 가 수렴하든 수렴하지 않든 명제는 참이다.