함수의 평균값

(a) 전체 구간의 길이는 $b-a$ 이고 이를 $n$ 개의 조각으로 자르므로, 한 조각의 길이(따라서 이웃한 두 표본 사이의 거리)는 $\frac{b-a}{n}$ 이다. (b) 문제에서 주어진 대로 첫 번째 표본은 $x=a$ 에서 얻는다. 그러면 두 번째 표본은 $x=a+\frac{b-a}{n}$ 에서, 세 번째 표본은 $x=1+2\frac{b-a}{n}$ 에서, 네 번째 표본은 $a+3\frac{b-a}{n}$ 에서 얻는다. (c) 네 번째 표본의 $y$ 값은 간단히 $f\left(a+3\frac{b-a}{n}\right)$ 이다. 평균을 구할 때 사용하는 값은 $x$ 값이 아니라 이 값임에 주의한다. (d) 표본은 $f(a)$, $f\left(a+\frac{b-a}{n}\right)$, $f\left(a+2\frac{b-a}{n}\right)$, $f\left(a+3\frac{b-a}{n}\right)$, ... 이다. 표본이 $n$ 개이므로 이들의 합을 $n$ 으로 나눈다. 따라서 평균은 다음과 같다.

$$\begin{aligned} &~\frac{f(a)+f\left(a+\frac{b-a}{n}\right)+ f\left(a+2\frac{b-a}{n}\right)+\cdots + f\left(a+(n-1)\frac{b-a}{n}\right)}{n}\\ &=\frac{1}{n}\left[f(a)+f\left(a+\frac{b-a}{n}\right)f\left(a+2\frac{b-a}{n}\right)+\cdots + f\left(a+(n-1)\frac{b-a}{n}\right)\right]\\ &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^nf\left(a+(i-1)\frac{b-a}{n}\right) \\ \text{참고: $b-a$ 를 곱하고 나누면, 이 식은 왼쪽 리만 합을 구간의 길이로 나눈 것과 같음을 알 수 있다.} \\ &= \frac{1}{b-a}\sum_{i=1}^nf\left(a+(i-1)\frac{b-a}{n}\right)\frac{b-a}{n}\\ &= \frac{1}{b-a}\sum_{i=1}^nf\left(a+(i-1)\Delta x\right)\Delta x \end{aligned}$$

$n$ 이 점점 커지면, 정적분의 정의에 따라 이 식은 $\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x$ 에 점점 가까워진다. 이것은 구간에서 함수의 평균값을 이렇게 정의하는 것이 타당함을 보이는 한 가지 방법이다.

(a) 예, $[0,10]$ 에서 $f(x)$ 의 평균은 $g(x)$ 의 평균보다 작거나 같다. 그 이유는 $[0,10]$ 의 모든 $x$ 에 대해 $f(x) \leq g(x)$ 이면 다음이 성립하기 때문이다. $$\frac{1}{10}\int_0^{10}f(x)\,\mathrm{d}x \leq \frac{1}{10}\int_0^{10}g(x)\,\mathrm{d}x.$$ (b) 알 수 있는 정보가 충분하지 않다. 물론 성립할 수도 있다. 예를 들어 $[0,10]$ 의 모든 $x$ 에 대해 $f(x)=0$, $g(x)=1$ 이라 하자. 그러면 $f(x) \leq g(x)$ 이고 $f(x)$ 의 평균은 0이며, 이는 $g(x)$ 의 평균인 1보다 작다.

그러나 $f(x) = \begin{cases} 100 & \text{(}0 \le x \le 0.01\text{ 일 때)}\\ 0 & \text{ 그 외 } \end{cases}$ 이고 $g(x) = 0$ 인 경우를 생각하자. 그러면 $[0.01,10]$ 의 모든 $x$ 에 대해 $f(x) \le g(x)$ 이지만, $f(x)$ 의 평균은 $0.1$ 이고 $g(x)$ 의 평균은 0이다.

정의에 따라 평균은

$$\begin{aligned} \frac{1}{e-1}\int_1^e x^2\log x\ \mathrm{d}x & \\ \text{To antidifferentiate, we use integration by parts with $u=\log x$ and $\mathrm{d}v=x^2\,\mathrm{d}x$, hence $\mathrm{d}u=\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x$ and $v=\frac{1}{3}x^3$.} \\ \frac{1}{e-1}\int_1^e x^2\log x\ \mathrm{d}x&= \frac{1}{e-1}\left(\left[\frac{1}{3}x^3\log x\right]_1^e - \int_1^e \frac{1}{3}x^2\,\mathrm{d}x \right) \\&= \frac{1}{e-1}\bigg[\frac{x^3}{3}\log x-\frac{x^3}{9}\bigg]_{x=1}^{x=e}\\ &=\frac{1}{e-1}\bigg[\frac{e^3}{3}-\frac{e^3}{9}+\frac{1}{9}\bigg]\\ &=\frac{1}{e-1}\bigg[\frac{2}{9}e^3+\frac{1}{9}\bigg] \end{aligned}$$

정의에 따라, 구하는 평균값은 다음과 같다.

$$\frac1{\pi/2-0} \int_0^{\pi/2} ( 3\cos^3x + 2\cos^2x ) \,\mathrm{d}x = \frac2\pi \bigg( \int_0^{\pi/2} 3\cos^3x \,\mathrm{d}x + \int_0^{\pi/2} 2\cos^2x \,\mathrm{d}x \bigg)$$

첫 번째 적분에서는 치환 $u = \sin x$, $\mathrm{d}u=\cos x\,\mathrm{d}x$, $\cos^2 x=1-\sin^2 x = 1-u^2$ 을 사용한다. 적분 구간의 양 끝 $x=0$ 과 $x=\frac\pi2$ 는 각각 $u=0$ 과 $u=1$ 로 바뀜에 유의한다.

$$\begin{aligned} \int_0^{\pi/2} 3 \cos^3x \,\mathrm{d}x &= \int_0^{\pi/2} 3 \cos^2 x \cos x \,\mathrm{d}x \\ &= \int_0^{1} 3(1-u^2) \,\mathrm{d}u \\ &= (3u-u^3)\Big|_0^1 = 2. \end{aligned}$$

두 번째 적분에서는 삼각함수 항등식 $\cos^2x\,\mathrm{d}x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$ 을 사용한다.

$$\begin{aligned} 2 \int_0^{\pi/2} \cos^2x\,\mathrm{d}x &= \int_0^{\pi/2} \big(1 + \cos(2x) \big) \,\mathrm{d}x \\ &= \bigg[ x + \frac{1}{2}\sin(2x) \bigg]_0^{\pi/2} = \frac\pi2 \end{aligned}$$

따라서 구하는 평균값은 다음과 같다.

$$\frac2\pi \bigg( \int_0^{\pi/2} 3\cos^3x \,\mathrm{d}x + \int_0^{\pi/2} 2\cos^2x \,\mathrm{d}x \bigg) = \frac2\pi \bigg( 2 + \frac\pi2 \bigg) = \frac{4}{\pi}+1.$$

정의에 따라, 구하는 평균값은 다음과 같다.

$$\text{Ave}=\frac1{\pi/k-0} \int_0^{\pi/k} \sin(kx) \,\mathrm{d}x$$

이 적분을 계산하기 위해 치환 $u = kx$, $\mathrm{d}u=k\,\mathrm{d}x$ 를 사용한다. 적분 구간의 양 끝 $x=0$ 과 $x=\pi/k$ 는 각각 $u=0$ 과 $u=\pi$ 로 바뀜에 유의한다. 따라서

$$\begin{aligned} \text{Ave}=\frac{k}{\pi} \int_0^\pi \sin(u) \,\frac{\mathrm{d}u}{k} =\frac{1}{\pi}\Big[-\cos(u)\Big]_0^\pi =\frac{2}{\pi} \end{aligned}$$

참고: 평균값은 $k$ 에 의존하지 않는다. 그 이유를 보기 위해, $x$ 가 변할 때 $\sin(kx)$ 는 $-1$ 과 $1$ 사이의 값을 가짐에 주목하자. $x=0$ 일 때 $kx=0$ 이고, $x=\pi/k$ 일 때 $kx=\pi$ 이다. 따라서 함수 $\sin (kx)$ 는 $\sin 0 =0$ 에서 $\sin(\pi/2)=1$ 까지 올라갔다가, 다시 $\sin\pi=0$ 까지 내려온다.

정의에 따라 평균 온도는 $$\frac{1}{3}\int_0^3 T(x)\,\mathrm{d}x =\frac{1}{3}\int_0^3 \frac{80}{16-x^2}\,\mathrm{d}x$$ 뚜렷한 치환은 보이지 않지만, 피적분함수는 유리함수이다. 분자의 차수가 분모의 차수보다 작으므로 분모를 인수분해하여 부분분수분해를 이용한다.

$$\begin{aligned} \frac{80}{16-x^2}&=\frac{80}{(4-x)(4+x)} = \frac{A}{4-x}+\frac{B}{4+x}\\ 80&=A(4+x)+B(4-x) \\ \text{ $x=4$ 를 대입하면 $80=8A$ 이므로 $A=10$ 이다. $x=-4$ 를 대입하면 $80=8B$ 이므로 $B=10$ 이다. } \\ \frac{1}{3}\int_0^3 \frac{80}{16-x^2}\,\mathrm{d}x&=\frac{1}{3}\int_0^3 \frac{80}{(4-x)(4+x)}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{3}\int_0^3 \Big[\frac{ 10}{4-x}+\frac{ 10}{4+x}\Big]\,\mathrm{d}x\\ &=\frac{1}{3}\int_0^3 \Big[-\frac{10}{x-4}+\frac{10}{4+x}\Big]\,\mathrm{d}x\\ &=\frac{10}{3}\Big[-\log|x-4|+\log|x+4|\Big]_0^3 \\ &=\frac{10}{3}\log\Big|\frac{x+4}{x-4}\Big|\bigg|_0^3 =\frac{10}{3}[\log 7-\log 1] \\ &=\frac{10}{3}\log 7\quad\text{ 섭씨 도} \end{aligned}$$

정의에 따라 평균값은

$$\begin{aligned} \frac{1}{e-1}\int_1^e\frac{\log x}{x}\ \mathrm{d}x& \\ \text{적분하기 위해 치환 $u=\log x$, $\mathrm{d}u=\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x$ 를 이용한다. 그러면 적분 구간의 아래끝과 위끝은 각각 0과 1이 된다.} \\ \frac{1}{e-1}\int_1^e\frac{\log x}{x}\ \mathrm{d}x& =\frac{1}{e-1}\int_0^1u\ \mathrm{d}u =\frac{1}{e-1}\bigg[\frac{u^2}{2}\bigg]_0^1 =\frac{1}{2(e-1)} \end{aligned}$$

정의에 따라 평균값은 다음과 같다.

$$\begin{aligned} \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\cos^2x\,\mathrm{d}x =\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\big(\cos(2x)+1\big)\,\mathrm{d}x =\frac{1}{4\pi}\Big[\frac{\sin(2x)}{2}+x\Big]_0^{2\pi} =\frac{1}{4\pi}\cdot 2\pi =\frac{1}{2} \end{aligned}$$

문제에 답하기 전에 주어진 함수를 조금 더 자세히 살펴보자. 항 $50\cos\left(\frac{t}{12}\pi\right)$의 주기는 24시간이고, 항 $200\cos\left(\frac{t}{4380}\pi\right)$의 주기는 1년이다. 따라서 앞의 항은 하루 중의 일반적인 변화를 나타내고, 뒤의 항은 1년에 걸친 계절별 변화를 나타낸다.

(a) 평균의 정의를 이용하면, 1년($t=0$부터 $8760$까지) 동안의 평균 농도는 다음과 같다.

$$\begin{aligned} &\frac{1}{8760}\int_0^{8760}\left(400+ 50\cos\left(\frac{t}{12}\pi\right)+ 200\cos\left(\frac{t}{4380}\pi\right)\right)\,\mathrm{d}t\\ &=\frac{1}{8760}\int_0^{8760}400\,\mathrm{d}t + \frac{50}{8760}\int_0^{8760}\cos\left(\frac{t}{12}\pi\right)\,\mathrm{d}t + \frac{200}{8760}\int_0^{8760}\cos\left(\frac{t}{4380}\pi\right)\,\mathrm{d}t\\ &= 400 + \frac{5}{876}\left[\frac{12}{\pi}\sin\left(\frac{t}{12}\pi\right)\right]_0^{8760}+ \frac{5}{219}\left[\frac{4380}{\pi}\sin\left(\frac{t}{4380}\pi\right)\right]_0^{8760} \\ \text{$\frac{8760}{12} = 730$은 짝수이므로 $\sin\left(\frac{8760}{12}\pi\right)=\sin(0)=0$이다. 또한 $\sin\left(\frac{8760}{4380}\pi\right)=\sin(2\pi)=0$이다. } \\ &=400+ \frac{5}{876}(0) + \frac{5}{219}(0)\\ &=400\quad\text{ ppm} \end{aligned}$$

참고: 적분에서 빨간색과 파란색으로 표시된 부분은, 피적분함수가 정수 번의 주기를 지난다는 점에 주목해도 된다. 한 주기마다 곡선과 $x$축 사이의 부호 있는 넓이의 합은 0이므로, 처음부터 이 항들이 최종 평균에 0을 더한다는 것을 알 수 있다.

(b) 평균의 정의를 이용하면, 첫째 날($t=0$부터 $t=24$까지) 동안의 평균 농도는 다음과 같다.

$$\begin{aligned} &\frac{1}{24}\int_0^{24} \left(400+ 50\cos\left(\frac{t}{12}\pi\right)+ 200\cos\left(\frac{t}{4380}\pi\right)\right)\,\mathrm{d}t\\ &=\frac{1}{24}\int_0^{24}400\,\mathrm{d}t + \frac{50}{24}\int_0^{24}\cos\left(\frac{t}{12}\pi\right)\,\mathrm{d}t+ \frac{200}{24}\int_0^{24}\cos\left(\frac{t}{4380}\pi\right)\,\mathrm{d}t \\ \text{$t=0$부터 $t=24$까지는 빨간색 피적분함수의 꼭 한 주기이므로 빨간색 적분의 값은 0이다. 그러나 $t=0$부터 $t=24$까지는 파란색 피적분함수의 한 주기보다 \textit{짧으므로}, 이 항은 평균에 0이 아닌 값을 더할 것으로 예상할 수 있다.} \\ &=400+ 0 + \frac{200}{24}\left[\frac{4380}{\pi}\sin\left(\frac{t}{4380}\pi\right)\right]_0^{24}\\ &=400+\frac{25}{3}\cdot\frac{4380}{\pi}\sin\left(\frac{24}{4380}\pi\right)\\ &=400+\frac{25}{3}\cdot\frac{4380}{\pi}\sin\left(\frac{2}{365}\pi\right)\\ &\approx 400+199.99\\ &=599.99 \quad\text{ ppm} \end{aligned}$$

참고: $C(0) = 400+ 50+ 200$이다. 빨간색 항은 하루 중의 변화에서 나오며, 첫째 날 동안 이 항의 평균은 0이다. 파란색 항은 계절별 변화에서 나오는데, 이는 1년 전체에 걸쳐서는 크게 변하지만 하루 동안에는 그다지 많이 변하지 않는다. 따라서 첫째 날의 평균 농도가 (정확히는 아니지만) $400+200$ ppm에 가까운 것은 타당하다.

(c) $[0,8760]$에서 $N(t)$의 평균은 다음과 같다.

$$\begin{aligned} \frac{1}{8760}\int_0^{8760} \left ( 350+200\cos\left(\frac{t}{4380}\pi\right)\right)\,\mathrm{d}t&=350 + \frac{200}{8760}\bigg[\frac{4380}{\pi}\sin\left(\frac{t}{4380}\pi\right)\bigg]_0^{8760} \\&=350+\frac{200}{8760}\left[\frac{4380}{\pi}\sin\left(\frac{8760}{4380}\pi\right)\right]\\ &=350+\frac{100}{\pi}\sin\left(2\pi\right)\\&=350 \end{aligned}$$

$C(t)$의 평균이 400이었으므로, 절대오차는 $|400-350|=50$ ppm이고 상대오차는 $$\frac{50}{400} = 0.125,$$ 즉 12.5%이다.

다시 말해, 하루 중 계속 측정하지 않고 매일 같은 시각에 측정하면 연평균 이산화탄소 농도에 12.5%의 오차가 생긴다.