함수의 평균값 연습문제 — CLP-2 · 2.2절 · 12번

CLP-2 · 2.2절 · 12번대학 수준우리말 번역

구간 $[1,e]$ 에서 함수 $f(x)=\dfrac{\log x}{x}$ 의 평균값은 얼마인지 구하세요.

영어 원문 보기

What is the average value of the function $f(x)=\dfrac{\log x}{x}$ on the interval $[1,e]$ ?

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정의에 따라 평균값은

$\begin{aligned} \frac{1}{e-1}\int_1^e\frac{\log x}{x}\ \mathrm{d}x& \\ \text{적분하기 위해 치환 $u=\log x$, $\mathrm{d}u=\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x$ 를 이용한다. 그러면 적분 구간의 아래끝과 위끝은 각각 0과 1이 된다.} \\ \frac{1}{e-1}\int_1^e\frac{\log x}{x}\ \mathrm{d}x& =\frac{1}{e-1}\int_0^1u\ \mathrm{d}u =\frac{1}{e-1}\bigg[\frac{u^2}{2}\bigg]_0^1 =\frac{1}{2(e-1)} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

By definition, the average value is

$\begin{aligned} \frac{1}{e-1}\int_1^e\frac{\log x}{x}\ \mathrm{d}x& \\ \text{To integrate, we use the substitution $u=\log x$, $\mathrm{d}u=\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x$. Then the limits of integration become 0 and 1, respectively.} \\ \frac{1}{e-1}\int_1^e\frac{\log x}{x}\ \mathrm{d}x& =\frac{1}{e-1}\int_0^1u\ \mathrm{d}u =\frac{1}{e-1}\bigg[\frac{u^2}{2}\bigg]_0^1 =\frac{1}{2(e-1)} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 2.2절 · 4번우리말 번역

함수 $f(x)$ 의 구간 $[a,b]$ 에서의 평균값을 어림하려고 한다. 이를 위해 구간 $[a,b]$ 를 $n$ 개의 조각으로 자르고, $a$ 에서 시작하여 각 조각의 왼쪽 끝점에서 함수의 출력값을 구함으로써 $n$ 개의 표본을 얻는다. 그런 다음 이 $n$ 개의 표본의 평균을 구한다. (아래 예에서는 $n=4$ 이다.)

(a) $n$ 개의 표본을 사용할 때, 이웃한 두 표본점 $x_i$ 와 $x_{i+1}$ 사이의 거리를 구하세요. (b) $n \geq 4$ 라고 할 때, 네 번째 표본의 $x$ 좌표를 구하세요. (c) $n \geq 4$ 라고 할 때, 네 번째 표본의 $y$ 값을 구하세요. (d) 구간 $[a,b]$ 에서 $f(x)$ 의 평균값의 어림값을 시그마 기호를 사용하여 나타내세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) 전체 구간의 길이는 $b-a$ 이고 이를 $n$ 개의 조각으로 자르므로, 한 조각의 길이(따라서 이웃한 두 표본 사이의 거리)는 $\frac{b-a}{n}$ 이다. (b) 문제에서 주어진 대로 첫 번째 표본은 $x=a$ 에서 얻는다. 그러면 두 번째 표본은 $x=a+\frac{b-a}{n}$ 에서, 세 번째 표본은 $x=1+2\frac{b-a}{n}$ 에서, 네 번째 표본은 $a+3\frac{b-a}{n}$ 에서 얻는다. (c) 네 번째 표본의 $y$ 값은 간단히 $f\left(a+3\frac{b-a}{n}\right)$ 이다. 평균을 구할 때 사용하는 값은 $x$ 값이 아니라 이 값임에 주의한다. (d) 표본은 $f(a)$ , $f\left(a+\frac{b-a}{n}\right)$ , $f\left(a+2\frac{b-a}{n}\right)$ , $f\left(a+3\frac{b-a}{n}\right)$ , ... 이다. 표본이 $n$ 개이므로 이들의 합을 $n$ 으로 나눈다. 따라서 평균은 다음과 같다.

$\begin{aligned} &~\frac{f(a)+f\left(a+\frac{b-a}{n}\right)+ f\left(a+2\frac{b-a}{n}\right)+\cdots + f\left(a+(n-1)\frac{b-a}{n}\right)}{n}\\ &=\frac{1}{n}\left[f(a)+f\left(a+\frac{b-a}{n}\right)f\left(a+2\frac{b-a}{n}\right)+\cdots + f\left(a+(n-1)\frac{b-a}{n}\right)\right]\\ &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^nf\left(a+(i-1)\frac{b-a}{n}\right) \\ \text{참고: $b-a$ 를 곱하고 나누면, 이 식은 왼쪽 리만 합을 구간의 길이로 나눈 것과 같음을 알 수 있다.} \\ &= \frac{1}{b-a}\sum_{i=1}^nf\left(a+(i-1)\frac{b-a}{n}\right)\frac{b-a}{n}\\ &= \frac{1}{b-a}\sum_{i=1}^nf\left(a+(i-1)\Delta x\right)\Delta x \end{aligned}$

$n$ 이 점점 커지면, 정적분의 정의에 따라 이 식은 $\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x$ 에 점점 가까워진다. 이것은 구간에서 함수의 평균값을 이렇게 정의하는 것이 타당함을 보이는 한 가지 방법이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 함수의 평균값계산보통자동 분류