밀도·질량과 질량중심 연습문제 — CLP-2 · 2.3절 · 1번

CLP-2 · 2.3절 · 1번대학 수준우리말 번역

대칭성을 이용하여 두 곡선 $y=(x-1)^2$ 과 $y=-x^2+2x+1$ 사이에 있는 유한한 영역의 무게중심을 구하세요.

영어 원문 보기

Using symmetry, find the centroid of the finite region between the curves $y=(x-1)^2$ and $y=-x^2+2x+1$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$-x^2+2x+1 = 2-(x-1)^2$ 임에 주목한다. 따라서 두 포물선은 모두 직선 $x=1$ 에 대해 대칭이므로, 무게중심의 $x$ 좌표는 $x=1$ 이다.

두 포물선은 다음과 같을 때 만난다.

$\begin{aligned} (x-1)^2&=2-(x-1)^2\\ 2(x-1)^2&=2\\ |x-1|&=1\\ x=0,\quad x&=2 \end{aligned}$

이 두 점에서 모두 $y=1$ 이므로 이 도형은 직선 $y=1$ 에 대해 대칭이다. 그러면 무게중심의 $y$ 좌표는 $1$ 이다.

따라서 무게중심은 $(1,1)$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Note $-x^2+2x+1 = 2-(x-1)^2$ . So, both parabolas are symmetric about the line $x=1$ , and the $x$ -coordinate of the centroid is $x=1$ .

The parabolas meet when:

$\begin{aligned} (x-1)^2&=2-(x-1)^2\\ 2(x-1)^2&=2\\ |x-1|&=1\\ x=0,\quad x&=2 \end{aligned}$

At both these points, $y=1$ , so we see the figure is symmetric about the line $y=1$ . Then the $y$ -coordinate of the centroid is $1$ .

Therefore, the centroid is at $(1,1)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 2.3절 · 6번우리말 번역

탱크 $A$ 는 반지름이 1미터인 구 모양이고 물이 가득 차 있다. 탱크 $A$ 의 바닥은 지면에서 3미터 위에 있고, 지면에는 탱크 $B$ 가 놓여 있다. 탱크 $B$ 는 밑면의 크기가 2미터 × 1미터인 키가 큰 직육면체 모양이며 비어 있다. 물과 질량이 같은 질점을 $A$ 의 질량 중심 높이에서 물이 $B$ 로 옮겨진 뒤의 물의 질량 중심 높이까지 이동시키는 것으로 상황을 모형화하여, 탱크 $A$ 의 물을 모두 탱크 $B$ 로 빼낼 때 중력이 하는 일을 구하세요.

물의 밀도는 $1000$ kg/m $^3$ , 중력가속도는 $g=9.8$ m/sec $^2$ 을 사용해도 됩니다.

다 풀었으면 정답 확인

탱크 A에 든 물의 부피는 $\frac{4}{3}\pi(1)^3 = \frac{4}{3}\pi$ 세제곱미터이다.
물의 질량은 $\frac{4000}{3}\pi$ kg이다.
대칭성에 의해 탱크 $A$ 를 가득 채운 물의 질량 중심은 구의 중심에 있으며, 지면으로부터의 높이는 $\bar y_1=4$ 미터이다(지면에서 3미터 위에 있는 탱크 $A$ 의 바닥보다 1미터 위).
물이 모두 탱크 $B$ 에 있을 때 물의 높이는 $\frac{2}{3}\pi$ 미터이다. (탱크 $B$ 의 밑면의 넓이는 2 m $^2$ 이고 물의 부피는 $\frac{4}{3}\pi$ m $^3$ 이다.) 대칭성에 의해 질량 중심은 정확히 절반 높이에 있으므로 높이는 $\bar y_2=\frac{1}{3}\pi$ 미터이다.
따라서 모형의 질점은 중력에 의해 $\bar y_1=4$ 에서 $\bar y_2=\frac{1}{3}\pi$ 까지, 즉 $4-\frac{1}{3}\pi$ 미터만큼 이동한다.
이때의 일은 다음과 같다: $\left(\frac{4000}{3}\pi~\text{kg}\right)\times\left(4-\frac{1}{3}\pi~\text{m}\right)\times\left(9.8~\frac{\text{m}}{\text{sec}^2}\right) = \frac{39200\pi}{9}(12-\pi)\approx 121,212~\text{J}$

이 문제로 이어서 풀기

# 밀도·질량과 질량중심그래프·표 해석기본자동 분류