밀도·질량과 질량중심 연습문제 — CLP-2 · 2.3절 · 6번

CLP-2 · 2.3절 · 6번대학 수준우리말 번역

탱크 $A$ 는 반지름이 1미터인 구 모양이고 물이 가득 차 있다. 탱크 $A$ 의 바닥은 지면에서 3미터 위에 있고, 지면에는 탱크 $B$ 가 놓여 있다. 탱크 $B$ 는 밑면의 크기가 2미터 × 1미터인 키가 큰 직육면체 모양이며 비어 있다. 물과 질량이 같은 질점을 $A$ 의 질량 중심 높이에서 물이 $B$ 로 옮겨진 뒤의 물의 질량 중심 높이까지 이동시키는 것으로 상황을 모형화하여, 탱크 $A$ 의 물을 모두 탱크 $B$ 로 빼낼 때 중력이 하는 일을 구하세요.

물의 밀도는 $1000$ kg/m $^3$ , 중력가속도는 $g=9.8$ m/sec $^2$ 을 사용해도 됩니다.

영어 원문 보기

Tank $A$ is spherical, of radius 1 metre, and filled completely with water. The bottom of tank $A$ is three metres above the ground, where Tank $B$ sits. Tank $B$ is tall and rectangular, with base dimensions 2 metres by 1 metre, and empty. Calculate the work done by gravity to drain all the water from Tank $A$ to Tank $B$ by modelling the situation as a point mass, of the same mass as the water, being moved from the height of the centre of mass of $A$ to the height of the centre of mass of the water after it has been moved to $B$ .

You may use $1000$ kg/m $^3$ for the density of water, and $g=9.8$ m/sec $^2$ for the acceleration due to gravity.

정답·풀이 보기

탱크 A에 든 물의 부피는 $\frac{4}{3}\pi(1)^3 = \frac{4}{3}\pi$ 세제곱미터이다.
물의 질량은 $\frac{4000}{3}\pi$ kg이다.
대칭성에 의해 탱크 $A$ 를 가득 채운 물의 질량 중심은 구의 중심에 있으며, 지면으로부터의 높이는 $\bar y_1=4$ 미터이다(지면에서 3미터 위에 있는 탱크 $A$ 의 바닥보다 1미터 위).
물이 모두 탱크 $B$ 에 있을 때 물의 높이는 $\frac{2}{3}\pi$ 미터이다. (탱크 $B$ 의 밑면의 넓이는 2 m $^2$ 이고 물의 부피는 $\frac{4}{3}\pi$ m $^3$ 이다.) 대칭성에 의해 질량 중심은 정확히 절반 높이에 있으므로 높이는 $\bar y_2=\frac{1}{3}\pi$ 미터이다.
따라서 모형의 질점은 중력에 의해 $\bar y_1=4$ 에서 $\bar y_2=\frac{1}{3}\pi$ 까지, 즉 $4-\frac{1}{3}\pi$ 미터만큼 이동한다.
이때의 일은 다음과 같다: $\left(\frac{4000}{3}\pi~\text{kg}\right)\times\left(4-\frac{1}{3}\pi~\text{m}\right)\times\left(9.8~\frac{\text{m}}{\text{sec}^2}\right) = \frac{39200\pi}{9}(12-\pi)\approx 121,212~\text{J}$

원본 교재 풀이(영어)

The volume of water in Tank A is $\frac{4}{3}\pi(1)^3 = \frac{4}{3}\pi$ cubic metres.
The mass of water is $\frac{4000}{3}\pi$ kg.
By symmetry, the centre of mass of the water when it fills Tank $A$ is exactly in the centre of the sphere, at height $\bar y_1=4$ metres above the ground (one metre above the bottom of Tank $A$ , which is three metres above the ground).
When the water is entirely in Tank $B$ , its height is $\frac{2}{3}\pi$ metres. (The base of Tank $B$ has area 2 m $^2$ , and the volume of water is $\frac{4}{3}\pi$ m $^3$ .) By symmetry, the centre of mass is exactly halfway up, at height $\bar y_2=\frac{1}{3}\pi$ metres.
So, the point mass in our model is moved from $\bar y_1=4$ to $\bar y_2=\frac{1}{3}\pi$ , a distance of $4-\frac{1}{3}\pi$ metres, by gravity.
The work involved is: $\left(\frac{4000}{3}\pi~\text{kg}\right)\times\left(4-\frac{1}{3}\pi~\text{m}\right)\times\left(9.8~\frac{\text{m}}{\text{sec}^2}\right) = \frac{39200\pi}{9}(12-\pi)\approx 121,212~\text{J}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 2.3절 · 5번우리말 번역

아래 각 그림에 대해, 질량중심이 직선 $x=a$ 의 왼쪽에 있는지, 오른쪽에 있는지, 직선 위에 있는지, 아니면 알 수 있는 정보가 충분하지 않은지 판단하세요. 영역의 음영은 밀도를 나타내며, 더 어두운 음영은 더 밀도가 높은 부분에 해당합니다. (d)에서 오른쪽에 있는 $B\times A$ 직사각형의 오른쪽 변은 $x=2a$ 위에 있습니다.

다 풀었으면 정답 확인

(a) 이 도형을 직선 $x=a$ 에 맞춰 세운 연필 위에 올려놓는다면, 도형이 왼쪽으로 쓰러질 것이 분명해 보인다. 따라서 질량중심은 직선 $x=a$ 의 왼쪽에 있다. (b)도 마찬가지이다. 왼쪽의 밀도가 더 높아서 한쪽으로 더 치우쳐 있기 때문이다. 그러나 (c)에서는 오른쪽이 왼쪽보다 밀도가 높아서 왼쪽을 상쇄할 수 있다. 치수와 밀도에 대해 더 많은 정보가 없으면 질량중심이 직선 $x=a$ 에 대해 어디에 있는지 알 수 없다.

(d) 도형 안의 점 $(x,y)$ 중 $b\le x\le c$ 인 모든 점으로 이루어진 도형의 한 부분과, 직선 $x=a$ 의 반대편에 있는 그 “거울상" 부분을 생각하자. 아래 그림에 빨간색으로 그려진 이 두 부분은 넓이가 같고 $x=a$ 로부터의 거리도 같다. 질량중심의 $x$ 좌표만 관심이 있으므로, 두 부분의 $y$ 좌표가 서로 다르다는 것은 문제가 되지 않는다. 질량중심은 직선 $x=a$ 위에 있다.

(e) (d)에서와 같이 직선 $x=a$ 의 왼쪽과 오른쪽의 넓이는 같다. 그러나 오른쪽의 넓이는 더 “늘어져" 있어서 직선 $x=a$ 로부터 더 멀리 떨어진 공간을 차지한다. 따라서 질량중심은 직선 $x=a$ 의 오른쪽에 있다.

이 문제로 이어서 풀기

# 밀도·질량과 질량중심그래프·표 해석기본자동 분류