밀도·질량과 질량중심 연습문제 — CLP-2 · 2.3절 · 2번

CLP-2 · 2.3절 · 2번대학 수준우리말 번역

대칭성을 이용하여, 원점을 중심으로 하는 단위원의 내부이면서 역시 원점을 중심으로 하는 가로 1, 세로 0.5인 직사각형의 외부에 있는 영역의 무게중심을 구하세요.

영어 원문 보기

Using symmetry, find the centroid of the region inside the unit circle, centred on the origin, and outside a rectangle, also centred on the origin, with width 1 and height 0.5.

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원과 잘라 낸 직사각형은 $x$ 축에 대해서도, $y$ 축에 대해서도 대칭이므로 무게중심은 원점이다.

참고: 영역의 무게중심이 반드시 그 영역에 속하는 점일 필요는 없다!

원본 교재 풀이(영어)

The circle and the cut-out rectangle are symmetric about the $x$ -axis, and about the $y$ -axis, so the centroid is the origin.

Remark: the centroid of a region doesn't have to be a point in the region!

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 2.3절 · 1번우리말 번역

대칭성을 이용하여 두 곡선 $y=(x-1)^2$ 과 $y=-x^2+2x+1$ 사이에 있는 유한한 영역의 무게중심을 구하세요.

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$-x^2+2x+1 = 2-(x-1)^2$ 임에 주목한다. 따라서 두 포물선은 모두 직선 $x=1$ 에 대해 대칭이므로, 무게중심의 $x$ 좌표는 $x=1$ 이다.

두 포물선은 다음과 같을 때 만난다.

$\begin{aligned} (x-1)^2&=2-(x-1)^2\\ 2(x-1)^2&=2\\ |x-1|&=1\\ x=0,\quad x&=2 \end{aligned}$

이 두 점에서 모두 $y=1$ 이므로 이 도형은 직선 $y=1$ 에 대해 대칭이다. 그러면 무게중심의 $y$ 좌표는 $1$ 이다.

따라서 무게중심은 $(1,1)$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

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