밀도·질량과 질량중심 연습문제 — CLP-2 · 2.3절 · 5번

CLP-2 · 2.3절 · 5번대학 수준우리말 번역

아래 각 그림에 대해, 질량중심이 직선 $x=a$ 의 왼쪽에 있는지, 오른쪽에 있는지, 직선 위에 있는지, 아니면 알 수 있는 정보가 충분하지 않은지 판단하세요. 영역의 음영은 밀도를 나타내며, 더 어두운 음영은 더 밀도가 높은 부분에 해당합니다. (d)에서 오른쪽에 있는 $B\times A$ 직사각형의 오른쪽 변은 $x=2a$ 위에 있습니다.

영어 원문 보기

For each picture below, determine whether the centre of mass is to the left of, to the right of, or along the line $x=a$ , or whether there is not enough information to tell. The shading of a region indicates density: darker shading corresponds to a denser area. In part (d), the right hand side of the right hand $B\times A$ rectangle has $x=2a$ .

정답·풀이 보기

(a) 이 도형을 직선 $x=a$ 에 맞춰 세운 연필 위에 올려놓는다면, 도형이 왼쪽으로 쓰러질 것이 분명해 보인다. 따라서 질량중심은 직선 $x=a$ 의 왼쪽에 있다. (b)도 마찬가지이다. 왼쪽의 밀도가 더 높아서 한쪽으로 더 치우쳐 있기 때문이다. 그러나 (c)에서는 오른쪽이 왼쪽보다 밀도가 높아서 왼쪽을 상쇄할 수 있다. 치수와 밀도에 대해 더 많은 정보가 없으면 질량중심이 직선 $x=a$ 에 대해 어디에 있는지 알 수 없다.

(d) 도형 안의 점 $(x,y)$ 중 $b\le x\le c$ 인 모든 점으로 이루어진 도형의 한 부분과, 직선 $x=a$ 의 반대편에 있는 그 “거울상" 부분을 생각하자. 아래 그림에 빨간색으로 그려진 이 두 부분은 넓이가 같고 $x=a$ 로부터의 거리도 같다. 질량중심의 $x$ 좌표만 관심이 있으므로, 두 부분의 $y$ 좌표가 서로 다르다는 것은 문제가 되지 않는다. 질량중심은 직선 $x=a$ 위에 있다.

(e) (d)에서와 같이 직선 $x=a$ 의 왼쪽과 오른쪽의 넓이는 같다. 그러나 오른쪽의 넓이는 더 “늘어져" 있어서 직선 $x=a$ 로부터 더 멀리 떨어진 공간을 차지한다. 따라서 질량중심은 직선 $x=a$ 의 오른쪽에 있다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) If we were to set this figure on a pencil lined up along the vertical line $x=a$ , it seems pretty clear that it would fall to the left. So, the centre of mass is to the left of the line $x=a$ . The same is true in (b): the added density on the left makes it only more lopsided. However, in (c), the right side is denser than the left, which could counterbalance the left. Without knowing more about the dimensions and the density, we can't say where the centre of mass is in relation to the line $x=a$ .

(d) Consider a section of the figure, consisting of all points $(x,y)$ in the figure with $b\le x\le c$ , and its “mirror" section on the other side of the line $x=a$ . These two sections, which are drawn in red in the sketches below, will have the same area, at the same distance from $x=a$ . Since we only care about the $x$ -coordinate of the centre of mass, it doesn't matter that the two halves are at different $y$ -coordinates. The centre of mass falls along the line $x=a$ .

(e) There is the same amount of area to the left and right of the line $x=a$ , as in part (d). However, the area to the right is “stretched out" more, so that it occupies space farther away from the line $x=a$ . So, the centre of mass will be to the right of the line $x=a$ .

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 6.6절 · 8번우리말 번역

다음 연습문제에서, 질량중심 $\overset{-}{x}$ 를 구하세요.

$x\in (0,L)$ 에서 $\rho ={x}^{2}$

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다 풀었으면 정답 확인

$\frac{3L}{4}$

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