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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 미분방정식

변수분리형 미분방정식

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-2 · 2.4절 · 15번대학 수준우리말 번역

미분방정식 yy′ex−2x=1y\displaystyle\frac{y y'}{e^x -2x} = \frac{1}{y} 의 해 중에서 y(0)=3y(0) = 3 을 만족시키는 것을 구하세요. yy 를 xx 의 함수로 완전히 풀어서 나타내세요.

영어 원문 보기

Find the solution to the differential equation yy′ex−2x=1y\displaystyle\frac{y y'}{e^x -2x} = \frac{1}{y} that satisfies y(0)=3y(0) = 3. Solve completely for yy as a function of xx.

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주어진 미분방정식은 변수분리형이므로 그에 따라 푼다. 양변에 교차하여 곱해서 방정식을 다음과 같이 고쳐 쓴다.

y2dydx=ex−2xy2 dy=(ex−2x) dx. 양변을 적분하면∫y2 dy=∫(ex−2x) dx13y3=ex−x2+Cx=0, y=3 을 대입하면 1333=e0−02+C 이므로 C=8 이다.13y3=ex−x2+8y=(3ex−3x2+24)1/3\begin{aligned} y^2 \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= e^x -2x\\ y^2 \,\mathrm{d}y &= (e^x - 2x ) \,\mathrm{d}x. \\ \text{ 양변을 적분하면} \\ \int y^2 \,\mathrm{d}y &=\int (e^x - 2x ) \,\mathrm{d}x\\ \frac{1}{3}y^3 &= e^x - x^2 + C \\ \text{$x = 0$, $y = 3$ 을 대입하면 $\frac{1}{3}3^3=e^0-0^2+C$ 이므로 $C=8$ 이다.} \\ \frac{1}{3}y^3 &= e^x - x^2 + 8\\ y &= (3e^x -3x^2+ 24)^{1/3} \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

The given differential equation is separable and we solve it accordingly. Cross–multiplying, we rewrite the equation as

y2dydx=ex−2xy2 dy=(ex−2x) dx. Integrating both sides, we find∫y2 dy=∫(ex−2x) dx13y3=ex−x2+CSetting x=0 and y=3, we find 1333=e0−02+C and hence C=8.13y3=ex−x2+8y=(3ex−3x2+24)1/3\begin{aligned} y^2 \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= e^x -2x\\ y^2 \,\mathrm{d}y &= (e^x - 2x ) \,\mathrm{d}x. \\ \text{ Integrating both sides, we find} \\ \int y^2 \,\mathrm{d}y &=\int (e^x - 2x ) \,\mathrm{d}x\\ \frac{1}{3}y^3 &= e^x - x^2 + C \\ \text{Setting $x = 0$ and $y = 3$, we find $\frac{1}{3}3^3=e^0-0^2+C$ and hence $C=8$.} \\ \frac{1}{3}y^3 &= e^x - x^2 + 8\\ y &= (3e^x -3x^2+ 24)^{1/3} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 2.4절 · 1번우리말 번역

아래는 함수 y=f(x)y=f(x) 와 미분방정식의 짝이다. 각 짝에 대해 그 함수가 미분방정식의 해인지 판단하세요.

  함수미분방정식 (a)y=5(ex−3x2−6x−6)dydx=y+15x2(b)y=−2x2+1y′(x)=xy2(c)y=x3/2+x(dydx)2+dydx=y\begin{array}{c|l|l|}\text{ ~} & \text{\textbf{함수}} & \text{\textbf{미분방정식}} \\ \text{ (a)} & y=5(e^x-3x^2-6x-6) & \displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=y+15x^2 \\ \text{(b)} & y=\dfrac{-2}{x^2+1} & y'(x)=xy^2 \\ \text{(c)} & y=x^{3/2}+x & \displaystyle\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^2 + \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=y \\ \text{}\end{array}

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(a)
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(a) y=5(ex−3x2−6x−6)y=5(e^x-3x^2-6x-6) 이면 dydx=5(ex−6x−6)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 5(e^x-6x-6) 이다. 이것이 y+15x2y+15x^2 과 같은지 확인해 보자.

y+15x2=5(ex−3x2−6x−6)+15x2=5(ex−3x2−6x−6+3x2)=5(ex−6x−6)=dydx\begin{aligned} y+15x^2&=5(e^x-3x^2-6x-6)+15x^2\\ &=5(e^x-3x^2-6x-6+3x^2)\\ &=5(e^x-6x-6)\\ &=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \end{aligned}

따라서 y=5(ex−3x2−6x−6)y=5(e^x-3x^2-6x-6) 은 미분방정식 dydx=y+15x2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=y+15x^2 의 해가 맞다. (b) y=−2x2+1y=\dfrac{-2}{x^2+1} 이면 dydx=4x(x+1)2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \dfrac{4x}{(x+1)^2} 이다. 이것이 xy2xy^2 과 같은지 확인해 보자.

xy2=x(−2x2+1)2=4x(x2+1)2=dydx\begin{aligned} xy^2&=x\left(\frac{-2}{x^2+1}\right)^2\\ &=\frac{4x}{(x^2+1)^2}\\ &=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \end{aligned}

따라서 y=−2x2+1y=\dfrac{-2}{x^2+1} 은 미분방정식 dydx=xy2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=xy^2 의 해가 맞다. (c) y=x3/2+xy=x^{3/2}+x 이면 dydx=32x+1\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{3}{2}\sqrt{x}+1 이다.

(dydx)2+dydx=(32x+1)2+32x+1=94x+92x+2≠dydx\begin{aligned} \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^2+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\left(\frac{3}{2}\sqrt{x}+1\right)^2+\frac{3}{2}\sqrt{x}+1\\ &=\frac{9}{4}x+\frac{9}{2}\sqrt{x}+2\\ &\neq \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \end{aligned}

따라서 y=x3/2+xy=x^{3/2}+x 는 미분방정식 (dydx)2+dydx=y\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^2+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=y 의 해가 아니다.

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