빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 미분방정식

변수분리형 미분방정식

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-2 · 2.4절 · 16번대학 수준우리말 번역

다음을 만족하는 함수 y=f(x)y=f(x) 를 구하세요.

dydx=−xy3그리고f(0)=−14\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -xy^3 \qquad\text{그리고}\qquad f(0)=-\frac{1}{4} \end{aligned}

영어 원문 보기

Find the function y=f(x)y=f(x) that satisfies

dydx=−xy3andf(0)=−14\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -xy^3 \qquad\text{and}\qquad f(0)=-\frac{1}{4} \end{aligned}

정답·풀이 보기

이것은 변수분리형 미분방정식이며, 다음과 같이 통상의 방법으로 푼다.

dydx=−xy3−dyy3=x dx∫−dyy3=∫x dx−y−2−2=x22+Cy−2=x2+2C.x=0 일 때 y=−14 이려면 C 를 다음을 만족하도록 택해야 한다(−14)−2=0+2C16=2C따라서 (∗)에서,y−2=x2+2C=x2+16y2=1x2+16이제 y(x) 의 후보는 두 가지이다:y=1x2+16또는y=−1x2+16x=0 일 때 y=−14 임을 안다. 위의 함수 중 이에 맞는 것은 다음뿐이다.y=−1x2+16(∗)\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= -xy^3\\ - \frac{\mathrm{d}y}{y^3} &= x\ \mathrm{d}x\\ \int -\frac{\mathrm{d}y}{y^3} &= \int x\ \mathrm{d}x\\ - \frac{y^{-2}}{-2} &= \frac{x^2}{2}+C\\ y^{-2}&=x^2+2C. \tag{$*$} \\ \text{$x=0$ 일 때 $y=-\frac{1}{4}$ 이려면 $C$ 를 다음을 만족하도록 택해야 한다} \\ {\Big(-\frac{1}{4} \Big)}^{-2}& =0 +2C\\ 16&= 2C \\ \text{따라서 ($*$)에서,} \\ y^{-2}&=x^2+2C =x^2+16\\ y^2&=\frac{1}{x^2+16} \\ \text{이제 $y(x)$ 의 후보는 두 가지이다:} \\ y&=\frac{1}{\sqrt{x^2+16}}\qquad\text{또는}\qquad y=-\frac{1}{\sqrt{x^2+16}} \\ \text{$x=0$ 일 때 $y=-\frac14$ 임을 안다. 위의 함수 중 이에 맞는 것은 다음뿐이다.} \\ y&=-\frac{1}{\sqrt{x^2+16}} \end{aligned}

따라서 f(x)=−1x2+16f(x) = -\dfrac{1}{\sqrt{x^2+16}} 이다.

원본 교재 풀이(영어)

This is a separable differential equation that we solve in the usual way.

dydx=−xy3−dyy3=x dx∫−dyy3=∫x dx−y−2−2=x22+Cy−2=x2+2C.To have y=−14 when x=0, we must choose C to obey(−14)−2=0+2C16=2CSo, from (∗),y−2=x2+2C=x2+16y2=1x2+16Now, we have two potential candidates for y(x):y=1x2+16ORy=−1x2+16We know y=−14 when x=0. The only function above that fits this is y=−1x2+16(∗)\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= -xy^3\\ - \frac{\mathrm{d}y}{y^3} &= x\ \mathrm{d}x\\ \int -\frac{\mathrm{d}y}{y^3} &= \int x\ \mathrm{d}x\\ - \frac{y^{-2}}{-2} &= \frac{x^2}{2}+C\\ y^{-2}&=x^2+2C. \tag{$*$} \\ \text{To have $y=-\frac{1}{4}$ when $x=0$, we must choose $C$ to obey} \\ {\Big(-\frac{1}{4} \Big)}^{-2}& =0 +2C\\ 16&= 2C \\ \text{So, from ($*$),} \\ y^{-2}&=x^2+2C =x^2+16\\ y^2&=\frac{1}{x^2+16} \\ \text{Now, we have two potential candidates for $y(x)$:} \\ y&=\frac{1}{\sqrt{x^2+16}}\qquad\text{OR}\qquad y=-\frac{1}{\sqrt{x^2+16}} \\ \text{We know $y=-\frac14$ when $x=0$. The only function above that fits this is } \\ y&=-\frac{1}{\sqrt{x^2+16}} \end{aligned}

So, f(x)=−1x2+16f(x) = -\dfrac{1}{\sqrt{x^2+16}}.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 2.4절 · 4번우리말 번역

y=f(x)y=f(x) 가 미분방정식 dydx=xy\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=xy 의 해라고 하자.

참 또는 거짓: 임의의 상수 CC 에 대해 f(x)+Cf(x)+C 도 해이다.

답 쓰고 채점
다 풀었으면 정답 확인

y=f(x)+Cy=f(x)+C 가 이 미분방정식의 해라는 것은 다음을 뜻한다.

ddx{f(x)+C}=x(f(x)+C)y=f(x) 가 해이므로 ddx{f(x)}=xf(x) 이다. 또한 ddx{f(x)+C}=ddx{f(x)} 이다. 따라서 ddx{f(x)+C}=xf(x) 이다.xf(x)=x(f(x)+C)0=xC\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(x)+C\}&=x(f(x)+C) \\ \text{$y=f(x)$ 가 해이므로 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(x)\}=xf(x)$ 이다. 또한 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(x)+C\}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(x)\}$ 이다. 따라서 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(x)+C\}=xf(x)$ 이다.} \\ xf(x)&=x(f(x)+C)\\ 0&=xC \end{aligned}

이 등식은 정의역의 모든 xx 에 대해 성립해야 하고, yy 를 xx 에 대해 미분하는 것이 의미를 가지려면 정의역이 한 점만으로 이루어져서는 안 된다. 따라서 정의역에는 x≠0x \neq 0 인 xx 가 존재한다. 그러므로 CC 는 반드시 0이어야 한다. 즉, f(x)+Cf(x)+C 는 어떤 상수 CC 에 대해서도 이 미분방정식의 해가 아니다.

일반적인 부정적분을 구할 때에는 마지막에 “+C+C"를 더한다. 미분방정식의 일반해를 구할 때에는 부정적분을 하는 단계에서 “+C+C"가 더해지므로, 풀이 마지막에 또 하나를 더하지 않는다.

이 문제로 이어서 풀기
# 변수분리형 미분방정식계산보통자동 분류
CLP-2 Integral Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

「변수분리형 미분방정식」 문제 목록으로