변수분리형 미분방정식 연습문제 — CLP-2 · 2.4절 · 18번

CLP-2 · 2.4절 · 18번대학 수준우리말 번역

$y(0)=1$ 일 때, $y'=x^3y$ 의 해 $y(x)$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the solution $y(x)$ of $y'=x^3y$ with $y(0)=1$ .

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정답·풀이 보기

주어진 미분방정식은 변수분리형이므로 그에 따라 푼다.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=x^3y \\\frac{\mathrm{d}y}{y}&=x^3\,\mathrm{d}x\\ \int\frac{\mathrm{d}y}{y}&=\int x^3\,\mathrm{d}x\\ \log|y|&=\frac{x^4}{4}+C\\ |y|&=e^{x^4/4+C}=e^{x^4/4}e^C \\ \text{$x=0$ 일 때 $y=1$ 이라고 주어져 있다. 즉 $1=e^0e^C$ 이므로 $e^C=1$ 이다. 즉 $C=0$ 이다.} \\ |y|&=e^{x^4/4} \\ \text{따라서 가능한 함수는 다음 두 가지가 남는다:} \\ y=e^{x^4/4}&\qquad\text{또는}\qquad y=-e^{x^4/4} \\ \text{첫째 함수는 항상 양수이고, 둘째 함수는 항상 음수이다. $x=0$ 일 때 $y=1$ (양수)이므로 다음을 얻는다} \\ y&=e^{x^4/4} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The given differential equation is separable and we solve it accordingly.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=x^3y \\\frac{\mathrm{d}y}{y}&=x^3\,\mathrm{d}x\\ \int\frac{\mathrm{d}y}{y}&=\int x^3\,\mathrm{d}x\\ \log|y|&=\frac{x^4}{4}+C\\ |y|&=e^{x^4/4+C}=e^{x^4/4}e^C \\ \text{We are told that $y=1$ when $x=0$. That is, $1=e^0e^C$, so $e^C=1$. That is, $C=0$.} \\ |y|&=e^{x^4/4} \\ \text{This leaves us with two potential functions:} \\ y=e^{x^4/4}&\qquad\text{OR}\qquad y=-e^{x^4/4} \\ \text{The first is always positive, and the second is always negative. Since $y=1$ (a positive number) when $x=0$, we see} \\ y&=e^{x^4/4} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 2.4절 · 21번우리말 번역

다음 초깃값 문제를 푸세요:

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =\frac{1}{(x^2+x)y}\qquad y(1)=2 \end{aligned}$

다 풀었으면 정답 확인

이것은 변수분리형 미분방정식이다.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &=\frac{1}{(x^2+x)y}\\ y\,\mathrm{d}y &=\frac{\mathrm{d}x}{x(x+1)} \\ \text{부분분수 분해를 이용하면 $\frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$ 임을 알 수 있다.} \\ y\,\mathrm{d}y &=\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)\,\mathrm{d}x\\ \int y\,\mathrm{d}y &=\int\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)\,\mathrm{d}x\\ \frac{y^2}{2}&=\log|x|-\log|x+1|+C = \log\left| \frac{x}{x+1}\right|+C\\ \\ \text{초기 조건 $y(1)=2$ 를 만족하려면 $C$ 를 다음이 성립하도록 택해야 한다.} \\ \frac{2^2}{2} &= \log\left|\frac{1}{1+1}\right|+C\\ 2&=\log\frac12+C\\ C&=2-\log\frac{1}{2} \\ \text{따라서,} \\ \frac{y^2}{2}&= \log\left| \frac{x}{x+1}\right|+2-\log\frac{1}{2}\\ y^2&= 2\log\left| \frac{x}{x+1}\right|+4-2\log\frac{1}{2} \\ \text{문제에서 $y(1)=2$ 를 초기 조건으로 주었으므로 항상 $x\ge 1$ 이다. 그러면 $\frac{x}{x+1}$ 는 양수이므로 절댓값 기호를 없앨 수 있다.} \\ y^2&= 2\log \frac{x}{x+1}+4-2\log\frac{1}{2} \\ \text{이제 $y(x)$ 는 위 오른쪽 변의 양의 제곱근 또는 음의 제곱근, 두 가지가 가능하다. $y(1)=2$ 가 양수이므로 양의 제곱근을 택해야 한다.} \\ y(x)&=\sqrt{2\Big(\log\frac{x}{x+1}-\log\frac{1}{2}+2\Big)}\\ &=\sqrt{4+2\log\frac{2x}{x+1}} \end{aligned}$

어떤 $x>1$ 에서 $y(x)$ 가 0 을 지나 부호가 바뀔 수도 있지 않을까 걱정할 수 있다. 그러나 미분방정식에 따르면 $y>0$ 이고 $x\ge 1$ 일 때마다 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{(x^2+x)y}$ 는 양수이다. 따라서 $y>0$ 이고 $x\ge 1$ 인 동안 $y(x)$ 는 증가함수이다. $y(1)=2$ 이므로 모든 $x\ge 1$ 에 대해 $y(x)\ge 2$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 변수분리형 미분방정식계산보통자동 분류