변수분리형 미분방정식 연습문제 — CLP-2 · 2.4절 · 35번

CLP-2 · 2.4절 · 35번대학 수준우리말 번역

높이가 2 m인 물탱크를 반지름이 $r=y^p$ 인 원형 단면을 가지도록 만들려고 합니다. 여기서 $y$ 는 탱크 바닥으로부터 잰 수직 거리이고, $p$ 는 정해야 하는 양의 상수입니다. 탱크의 물이 빠질 때 토리첼리의 법칙을 따른다고 가정해도 좋습니다. 즉,

$\begin{aligned} A(y)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=-c\sqrt{y} \end{aligned}$

이며, 여기서 $c$ 는 어떤 상수이고 $A(y)$ 는 높이 $y$ 에서의 탱크의 단면의 넓이입니다. 탱크의 윗부분 절반 ( $y=2$ 에서 $y=1$ 까지)이 물이 빠지는 데 걸리는 시간이 아랫부분 절반( $y=1$ 에서 $y=0$ 까지)이 물이 빠지는 데 걸리는 시간과 정확히 같도록 탱크를 만들려고 합니다. 탱크가 이 성질을 갖도록 $p$ 의 값을 구하세요. 참고: 이 문제에서 $c$ 를 구하는 것은 불가능하며 필요하지도 않습니다.

영어 원문 보기

A tank 2 m tall is to be made with circular cross–sections with radius $r=y^p$ . Here $y$ measures the vertical distance from the bottom of the tank and $p$ is a positive constant to be determined. You may assume that when the tank drains, it obeys Torricelli's law, that is

$\begin{aligned} A(y)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=-c\sqrt{y} \end{aligned}$

for some constant $c$ where $A(y)$ is the cross–sectional area of the tank at height $y$ . It is desired that the tank be constructed so that the top half ( $y=2$ to $y=1$ ) takes exactly the same amount of time to drain as the bottom half ( $y=1$ to $y=0$ ). Determine the value of $p$ so that the tank has this property. Note: it is not possible or necessary to find $c$ for this question.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

시각 $t$ (예를 들어 정오부터 시작하여 시간 단위로 잰다)에 탱크 안 물의 높이가 $y$ 이고, 이 값은 0 m와 2 m 사이라고 하자. 이때 물의 윗면은 반지름이 $r=y^p$ 인 원판을 이루고 그 넓이는 $A(y)=\pi y^{2p}$ 이다. 따라서 토리첼리의 법칙에 의해

$\begin{aligned} \pi y^{2p}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}&=-c\sqrt{y}\\ -\frac{\pi}{c}\cdot y^{2p-{1\over 2}}\mathrm{d}y&=\,\mathrm{d}t\\ \int-\frac{\pi}{c}\cdot y^{2p-{1\over 2}}\mathrm{d}y&=\,\int \mathrm{d}t\\ -\frac{\pi}{c}\cdot\frac{y^{2p+{1\over 2}}}{2p+{1\over 2}}+d &=t \\ \text{for some constant $d$. At time $t=0$, the height is $y=2$, so $d=\displaystyle\frac{\pi}{c}\cdot\frac{2^{2p+{1\over 2}}}{2p+{1\over 2}}$ \ .} \\ t&=\frac{\pi}{c}\bigg(\frac{2^{2p+{1\over 2}}}{2p+{1\over 2}} -\frac{y^{2p+{1\over 2}}}{2p+{1\over 2}}\bigg)\\ &=\frac{\pi}{c(2p+\frac12)}\left(2^{2p+\frac12}-y^{2p+\frac12}\right) \end{aligned}$

높이가 $1$ 이 되는 시각은 이 식에 $y=1$ 을 대입하여 얻고, 높이가 $0$ 이 되는 시각은 이 식에 $y=0$ 을 대입하여 얻는다. 따라서 윗부분 절반( $y=2$ 에서 $y=1$ 까지)이 물이 빠지는 데 걸리는 시간이 아랫부분 절반( $y=1$ 에서 $y=0$ 까지)이 걸리는 시간과 정확히 같다는 조건은 다음과 같다.

$\begin{aligned} t(2)-t(1)&=t(1)-t(0)\\ 0-t(1)&=t(1)-t(0)\\ t(0)&=2t(1)\\ \frac{\pi}{c(2p+\frac12)}\left(2^{2p+\frac12}-0^{2p+\frac12}\right)&= 2\frac{\pi}{c(2p+\frac12)}\left(2^{2p+\frac12}-1^{2p+\frac12}\right)\\ 2^{2p+\frac12}&= 2\left(2^{2p+\frac12}-1\right)\\ 2^{2p+\frac12}&= 2\cdot 2^{2p+\frac12}-2\\ 2&=2^{2p+\frac12}\\ 1&=2p+\frac12\\ p&=\frac14 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Suppose that at time $t$ (measured in hours starting at, say, noon), the water in the tank has height $y$ , which is between 0 and 2 metres. At that time, the top surface of the water forms a circular disk of radius $r=y^p$ and area $A(y)=\pi y^{2p}$ . Thus, by Torricelli's law,

The time at which the height is $1$ is obtained by subbing $y=1$ into this formula. The time at which the height is $0$ is obtained by subbing $y=0$ into this formula. Thus the condition that the top half ( $y=2$ to $y=1$ ) takes exactly the same amount of time to drain as the bottom half ( $y=1$ to $y=0$ ) is:

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 2.4절 · 37번우리말 번역

다음을 만족하는 함수 $y(x)$ 를 구하세요. $\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}{x}^2}=\frac{2}{y^3}\cdot\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 그리고 $x=-\frac{1}{16}\log 3$ 이면 $y=1$ 이고 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=3$ 이다.

$y$ 에 대해 명시적으로 풀 필요는 없습니다.

다 풀었으면 정답 확인

먼저 양변을 $x$ 에 대해 부정적분한다.

$\begin{aligned} \int \left(\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}{x}^2}\right)\,\mathrm{d}x&=\int\left(\frac{2}{y^3}\cdot\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)\,\mathrm{d}x \\ \text{오른쪽 적분은 $y$ 로 변수를 바꾸는(치환하는) 데 쓰는 꼴 그대로이다.} \\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\int\left(\frac{2}{y^3}\right)\,\mathrm{d}y = -\frac{1}{y^2}+C \\ \text{$y=1$ 일 때 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=3$ 이다.} \\ 3& =-\frac{1}{1}+C\\ C&=4 \\ \text{따라서} \\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=-\frac{1}{y^2}+4 \\ \text{ 이것은 변수분리형 미분방정식이다. } \\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\frac{4y^2-1}{y^2} \\ \frac{y^2}{4y^2-1}\,\mathrm{d}y&=\mathrm{d}x\\ \int \frac{y^2}{4y^2-1}\,\mathrm{d}y&=\int \mathrm{d}x\tag{$*$} \end{aligned}$

왼쪽 적분은 부분분수로 구할 수 있지만, 분자의 차수가 분모의 차수와 같으므로 먼저 식을 간단히 해야 한다. 여기서는 식을 보고 바로 변형하지만, 다항식의 나눗셈(조립제법이 아닌 직접 나눗셈)을 이용해도 된다.

$\begin{aligned} \frac{y^2}{4y^2-1}&=\frac{\frac{1}{4}(4y^2-1)+\frac{1}{4}}{4y^2-1}\\ &=\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{4y^2-1}\right)\\ &=\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{(2y-1)(2y+1)}\right)\\ &=\frac{1}{4}\left(1+\frac{1/2}{2y-1}-\frac{1/2}{2y+1}\right) \end{aligned}$

이제 ( $*$ )로 돌아간다.

$\begin{aligned} \int \mathrm{d}x&=\int \frac{y^2}{4y^2-1}\,\mathrm{d}y\\ &= \int \frac{1}{4}\left(1+\frac{1/2}{2y-1}-\frac{1/2}{2y+1}\right)\,\mathrm{d}y\\ &= \frac{1}{4}\left(y+\frac{1}{4}\log|2y-1| - \frac{1}{4}\log|2y+1|\right)\\ &= \frac{1}{4}\left(y+\frac{1}{4}\log\left|\frac{2y-1}{2y+1}\right|\right)\\ x+C&=\frac{1}{4}\left(y+\frac{1}{4}\log\left|\frac{2y-1}{2y+1}\right|\right) \\ \text{$x=-\frac{1}{16}\log 3$ 일 때 $y=1$ 이다.} \\ -\frac{1}{16}\log 3 +C &=\frac{1}{4}\left(1+\frac14\log\left| \frac{2-1}{2+1}\right|\right) = \frac{1}{4}+\frac{1}{16}\log\frac{1}{3}\\ C&=\frac{1}{4} \\ \text{따라서} \\ x+\frac{1}{4}&=\frac{1}{4}\left(y+\frac{1}{4}\log\left|\frac{2y-1}{2y+1}\right|\right)\\ x&=\frac{1}{4}\left(y-1+\frac{1}{4}\log\left|\frac{2y-1}{2y+1}\right|\right) \end{aligned}$

구한 답은 $x$ 에 대해 미분하여 확인할 수 있다.

$\begin{aligned} x&=\frac{1}{4}\left(y-1+\frac{1}{4}\log\left|\frac{2y-1}{2y+1}\right|\right)\\ 4x&=y-1+\frac{1}{4}\log|2y-1| -\frac{1}{4}\log|2y+1|\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{4x\}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{y-1+\frac{1}{4}\log|2y-1| -\frac{1}{4}\log|2y+1|\right\}\\ 4&=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+\frac{1}{4}\cdot\frac{2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}{2y-1} - \frac{1}{4}\cdot\frac{2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}{2y+1}\\ 4&=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\left(1+\frac{1/2}{2y-1} - \frac{1/2}{2y+1}\right) = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\left(\frac{4y^2}{4y^2-1}\right)\\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\frac{4y^2-1}{y^2}=4-\frac{1}{y^2} \tag{$**$} \\ \text{합성함수의 미분법을 이용하여 $x$ 에 대해 다시 미분하면} \\ \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}{x}^2}&=\frac{2}{y^3}\cdot\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \end{aligned}$

이것은 우리가 풀어야 했던 미분방정식과 정확히 같다.

이 문제로 이어서 풀기

# 변수분리형 미분방정식활용도전자동 분류