수열의 수렴과 발산

(a) $\pi$ 의 홀수 배 중에서 정수에 가까운 것을 찾고자 한다.

• 풀이 1: 한 가지 방법은 $\pi$ 가 $\dfrac{22}{7}$ 에 꽤 가깝다는 사실을 떠올리는 것이다. 그러면 $\pi$ 에 7의 배수를 곱하면 정수에 가까운 값이 나온다. 특히 $7\pi$, $21\pi$, $35\pi$ 는 각각 $7\left(\dfrac{22}{7}\right)=22$, $21\left(\dfrac{22}{7}\right)=66$, $35\left(\dfrac{22}{7}\right)=110$ 에 상당히 가까울 것이다. 충분히 가까운지 확인해 보자.

$$\begin{aligned} 7\pi&\approx 21.99 &\qquad 21\pi &\approx 65.97 & \qquad 35\pi &\approx 109.96 \end{aligned}$$

따라서 실제로 $22$, $66$, $110$ 은 모두 $\pi$ 의 어떤 홀수 배에서 0.1 이내에 있다.

$\pi$ 의 홀수 배에서 코사인의 값은 $-1$ 이므로, 수열의 값이 모두 $-1$ 에 가까울 것으로 예상된다. 계산기를 사용하면 다음과 같다.

$$\begin{aligned}a_{22} &= \cos(22) \approx -0.99996,\\ a_{66} &= \cos(66) \approx -0.99965, \\ a_{110} &= \cos(110) \approx -0.99902 \end{aligned}$$

• 풀이 2: 다른 방법으로, 정수에 가까운 것이 세 개 나올 때까지 $\pi$ 의 홀수 배를 차례로 나열해도 된다. $$\begin{array}{c|c} \hline \mathbf{2k+1}&\mathbf{(2k+1)}\boldsymbol{\pi}\\ \hline 1&3.14\\ 3&9.42\\ 5&15.71\\ 7&21.99\\ 9&28.27\\ 11&34.56\\ 13&40.84\\ 15&47.12\\ 17&53.41\\ 19&59.69\\ 21&65.97\\ 23&72.26\\ 25&78.54\\ 27&84.82\\ 29&91.11\\ 31&97.39\\ 33&103.67\\ 35&109.96 \end{array}$$ 앞쪽의 $\pi$ 의 홀수 배 중 일부($15\pi$ 와 $29\pi$ 등)는 정수에 꽤 가깝지만 0.1 이내는 아니다.

(b) 어떤 정수 $k$ 에 대하여 $x = \dfrac{2k+1}{\vphantom{_1}2}\pi$ (즉, $x$ 가 $\pi/2$ 의 홀수 배)이면 $\cos x =0$ 이다. 따라서 $a_n$ 의 처음 몇 개 항을 나열하여 $0$ 에 아주 가까운 것 세 개를 찾거나, 근삿값 $\pi\approx \dfrac{22\vphantom{^1}}{7}$ 을 이용하여 $\dfrac{2k+1}{2}\pi$ 에 가까운 $n$ 의 값을 고르면 된다.

• 풀이 1: $$\begin{aligned} \dfrac{2k+1}{2}\pi&\approx \frac{(2k+1)\times 22}{2\times 7}=11\times\frac{2k+1}{7} \end{aligned}$$

따라서 $2k+1$ 이 7의 배수일 때 그 값이 정수에 가까울 것으로 예상된다. 예를 들어 $2k+1=7$, $2k+1=21$, $2k+1=35$ 이다.

확인해 보자. $$\begin{array}{l| l| l} \qquad\mathbf{x}&\mathbf{n} & \mathbf{a_n}\\ \hline ~7\times \dfrac{\pi\vphantom{^A}}{2}\approx 10.99557 & 11&a_{11}\approx0.0044\\[10pt] 21\times \dfrac{\pi}{2} \approx 32.98672&33&a_{33}\approx-0.0133\\[10pt] 35\times \dfrac{\pi}{2} \approx 54.97787&55& a_{55}\approx 0.0221\\ \end{array}$$ 이 $a_n$ 의 값들은 모두 $0$ 에 꽤 가까워 보인다.

• 풀이 2: $a_n$ 의 처음 몇 개 값을 나열하여 $0$ 에 가까운 것을 찾을 수도 있었다.

$$\begin{array}{c|c} \mathbf{n}&\mathbf{a_n}\\ \hline 1&0.54\\ 2&-0.42\\ 3&-0.99\\ 4&-0.65\\ 5&0.28\\ 6&0.96\\ 7&0.75\\ 8&-0.15\\ 9&-0.91\\ 10&-0.84 \end{array}$$ 이런, 아직 아주 가까운 것이 없다. 더 나은 방법은 $\frac{2k+1}{2}\pi$ 의 값을 나열하여 정수에 가까운 것을 찾는 것이다.

$$\begin{array}{c|c} \mathbf{2k+1}&\mathbf{\frac{2k+1}{2}}\boldsymbol{\pi}\\ \hline 1&1.57\\ 3&4.71\\ 5&7.85\\ 7&10.996\\ 9&14.14\\ 11&17.28\\ 13&20.42\\ 15&23.56\\ 17&26.70\\ 19&29.85\\ 21&32.99\\ 23&36.13\\ 25&39.27\\ 27&42.41\\ 29&45.55\\ 31&48.69\\ 33&51.84\\ 35&54.98 \end{array}$$ 어느 정도를 “가깝다”고 받아들이느냐에 따라 다르지만, 풀이 1에서 얻은 것과 대체로 같은 후보를 찾을 수 있다.

(c) (a)와 (b)에서 쓴 방법을 그대로 사용할 수 있다. 그러나 $\cos(n)$ 이 $-1$ 에 가까운 $n$ 을 이미 알고 있으므로, 다음 삼각함수 항등식을 이용하는 것이 더 쉽다.

$$\begin{aligned} \cos(2m) = 2\cos^2(m) -1 \end{aligned}$$

이 항등식은 $\cos(m)$ 이 $-1$ 에 가까우면 $\cos(2m)$ 이 $+1$ 에 가까움을 보여 준다. 그러므로 $n=2m = 2\times 22=44$, $2\times 66=132$, $2\times 110=220$ 을 시도해 보자. $$\begin{array}{c|c} \mathbf{n}&\mathbf{a_n}\\ \hline 44&0.9998\\ 132&0.9986\\ 220&0.9961 \end{array}$$ 조건에 맞는다.

참고: 이 문제의 아이디어를 엄밀한 증명으로 바꾸어 $\lim\limits_{n \to \infty}\cos n$ 이 존재하지 않음을 보일 수 있다.

• 각각의 정수 $k\ge 1$ 에 대하여 $n_k$ 를 $2k\pi$ 에 가장 가까운 정수라 하자. 그러면 $2k\pi-\frac{1}{2}\le n_k \le 2k\pi+\frac{1}{2}$ 이므로 $\cos(n_k)\ge\cos\frac{1}{2}\ge 0.8$ 이다. 따라서 $\lim\limits_{n \to \infty}\cos n=c$ 가 존재한다면 $c\ge 0.8$ 이어야 한다.
• 각각의 정수 $k\ge 1$ 에 대하여 $n'_k$ 를 $(2k+1)\pi$ 에 가장 가까운 정수라 하자. 그러면 $(2k+1)\pi-\frac{1}{2}\le n'_k \le (2k+1)\pi+\frac{1}{2}$ 이므로 $\cos(n'_k)\le-\cos\frac{1}{2}\le -0.8$ 이다. 따라서 $\lim\limits_{n \to \infty}\cos n=c$ 가 존재한다면 $c\le -0.8$ 이어야 한다.
• $c\ge 0.8$ 과 $c\le -0.8$ 이 동시에 성립할 수는 없으므로 $\lim\limits_{n \to \infty}\cos n$ 은 존재하지 않는다.

참고: 이 문제는 $n$ 이 정수 전체를 움직일 때 모든 수 $\cos(n)$ 의 집합이 갖는 성질도 암시한다. 수학자들은 이 집합이 “구간 $[-1,1]$ 에서 조밀하다”고 말한다. 이는 $-1\le r\le 1$ 인 어떤 수 $r$ 을 고르더라도, $\cos(n)$ 이 반드시 $r$ 과 정확히 같지는 않더라도 $r$ 에 원하는 만큼 가까워지는 정수 $n$ 이 있다는 뜻이다. 자주 쓰는 검색 엔진에 “$\cos(n)$ dense”를 입력하면 더 많은 것을 알아볼 수 있다.