수열의 수렴과 발산 연습문제

1.OpenStax 2권 · 5.1절 · 7번우리말 풀이

첫째항이 $a_1=-3$ 이고 $n\ge1$ 에서 $a_{n+1}-a_n=4$ 를 만족하는 등차수열의 $n$ 번째 항 $a_n$ 의 식을 구하세요.

영어 원문 보기

Find a formula ${a}_{n}$ for the $n\text{th}$ term of the arithmetic sequence whose first term is ${a}_{1}=-3$ such that ${a}_{n+1}-{a}_{n}=4$ for $n\ge 1.$

풀이 보기

이웃한 항의 차가 일정하면 등차수열이고, 일반항은 $a_n=a_1+(n-1)d$ 예요.

1
수열의 종류를 알아봐요. $a_{n+1}-a_n=4$ 로 차가 일정하니 공차 $d=4$ 인 등차수열이에요.
2
일반항 공식에 넣어요. $a_n=a_1+(n-1)d=-3+4(n-1)=4n-7$
3
확인해요. $a_1=4-7=-3$ , $a_2=1$ , $a_3=5$ 로 차가 $4$ 씩이에요.

답

$a_n=4n-7$

자주 하는 실수

$(n-1)$ 대신 $n$ 을 곱해 $a_n=4n-3$ 으로 쓰는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

${a}_{n}=4n-7$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 63번

# 수열의 수렴과 발산계산기본

2.OpenStax 2권 · 5.1절 · 15번우리말 풀이

다음과 같이 점화식으로 정의된 수열에 대하여, $n$ 번째 항 $a_n$ 을 $a_n=f(n)$ 으로 나타내는 함수 $f(n)$ 을 구하세요.

$a_1=2$ 이고 $n\ge1$ 에서 $a_{n+1}=2a_n$

영어 원문 보기

Find a function $f(n)$ that identifies the $n\text{th}$ term ${a}_{n}$ of the following recursively defined sequences, as ${a}_{n}=f(n).$

${a}_{1}=2$ and ${a}_{n+1}=2{a}_{n}$ for $n\ge 1$

답 쓰고 채점

풀이 보기

$a_{n+1}=2a_n$ 은 "앞 항에 2를 곱한다"는 뜻이니 공비가 2인 등비수열이에요.

1
몇 개 항을 직접 써 봐요. $a_1=2$ , $a_2=2\cdot2=4$ , $a_3=2\cdot4=8$ , $a_4=16$ 이에요. 모두 2의 거듭제곱이에요.
2
등비수열의 일반항 공식을 써요. 첫째항 $a_1=2$ , 공비 $r=2$ 이므로 $a_n=a_1\,r^{\,n-1}=2\cdot2^{\,n-1}=2^{\,n}$
3
확인해요. $a_{n+1}=2^{n+1}=2\cdot2^n=2a_n$ 이고 $a_1=2^1=2$ 이므로 조건을 모두 만족해요.

답

$f(n)=2^{n}$

자주 하는 실수

공비를 곱하는 횟수가 $n-1$ 번인데 $n$ 번으로 세어 $2^{n+1}$ 이라고 쓰는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

$f(n)={2}^{n}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 39번

# 수열의 수렴과 발산계산기본

3.OpenStax 2권 · 5.1절 · 31번우리말 풀이

다음 각 수열( $n$ 번째 항이 주어져 있음)이 유계인지, 그리고 결국 단조(증가 또는 감소)인지 말하세요.

$\dfrac{n}{2^{n}},\quad n\ge2$

영어 원문 보기

For each of the following sequences, whose $n\text{th}$ terms are indicated, state whether the sequence is bounded and whether it is eventually monotone, increasing, or decreasing.

$n/{2}^{n},$ $n\ge 2$

풀이 보기

항이 모두 양수일 때는 이웃한 항의 비 $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ 이 1보다 작은지 큰지로 증가·감소를 판단해요.

1
처음 몇 항을 써 봐요. $a_2=\dfrac12$ , $a_3=\dfrac38$ , $a_4=\dfrac14$ , $a_5=\dfrac5{32}$ 로 점점 줄어드는 것 같아요.
2
비로 감소를 확인해요. 모든 항이 양수이므로 $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)/2^{n+1}}{n/2^n}=\frac{n+1}{2n}=\frac12+\frac1{2n}$ $n\ge2$ 이면 이 값은 $\dfrac34$ 이하여서 1보다 작아요. 따라서 $a_{n+1}<a_n$ , 즉 $n\ge2$ 에서 감소수열이에요.
3
유계를 확인해요. 모든 항이 양수라서 아래로 $0$ 보다 크고, 감소하므로 첫 항 $a_2=\dfrac12$ 보다 커질 수 없어요. 즉 $0<a_n\le\dfrac12$ 이므로 유계예요.

답

유계이고, $n\ge2$ 에서 감소

자주 하는 실수

$n=1$ 일 때와 $n=2$ 일 때 값이 같아( $\tfrac12$ ) 처음부터 감소라고 하거나, 비가 1보다 작아지는 $n$ 의 범위를 확인하지 않는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

bounded, decreasing for $n\ge 2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.1절 · 12번

# 수열의 수렴과 발산개념 확인보통

4.OpenStax 2권 · 5.1절 · 39번우리말 풀이

다음과 같이 정의된 수열이 극한을 갖는지 판단하고, 갖는다면 그 극한을 구하세요.

$a_1=3$ , $a_n=\sqrt{2a_{n-1}}$ ( $n=2,3,\ldots$ )

영어 원문 보기

Determine whether the sequence defined as follows has a limit. If it does, find the limit.

${a}_{1}=3,$ ${a}_{n}=\sqrt{2{a}_{n-1}},$ $n=2,3,\ldots .$

풀이 보기

감소하면서 아래로 유계인 수열은 수렴하고, 극한 $a$ 는 $a=\sqrt{2a}$ 를 만족해요.

1
몇 항을 계산해 봐요. $a_1=3$ , $a_2=\sqrt6\approx2.449$ , $a_3=\sqrt{2\cdot2.449}\approx2.213$ 로 줄어들면서 $2$ 에 가까워지는 것 같아요.
2
$a_n>2$ 임을 보여요. $a_1=3>2$ 이고, $a_{n-1}>2$ 이면 $2a_{n-1}>4$ 이므로 $a_n=\sqrt{2a_{n-1}}>2$ 예요. 따라서 모든 항이 $2$ 보다 커요(아래로 유계).
3
감소함을 보여요. $a_n<a_{n-1}$ 은 $\sqrt{2a_{n-1}}<a_{n-1}$ 과 같고, 양변을 제곱하면 $2a_{n-1}<a_{n-1}^2$ , 즉 $a_{n-1}>2$ 예요. 앞 단계에서 이것이 참이므로 수열은 감소해요.
4
수렴하므로 극한을 구해요. 감소하면서 아래로 유계인 수열은 수렴해요. 극한을 $a$ 라 하면 $a_n\to a$ , $a_{n-1}\to a$ 이므로 $a=\sqrt{2a}\;\Rightarrow\;a^2=2a\;\Rightarrow\;a(a-2)=0$ 모든 항이 $2$ 보다 크니 극한은 $0$ 일 수 없고 $a=2$ 예요.

답

수렴하고 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=2$

자주 하는 실수

$a^2=2a$ 에서 $a=0$ 도 답이라고 쓰는 실수가 있어요. 수열이 항상 $2$ 보다 크다는 사실로 $0$ 을 버려야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

${a}_{n}$ is decreasing and bounded below by $2.$ The limit $a$ must satisfy $a=\sqrt{2a}$ so $a=2,$ independent of the initial value.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 31번

# 수열의 수렴과 발산개념 확인도전

5.OpenStax 2권 · 5.1절 · 63번우리말 풀이

[계산기 사용] $0$ 과 $1$ 사이의 수 $x$ 의 이진 표현 $x=0.b_1b_2b_3\ldots$ 은 다음과 같이 정할 수 있습니다. $x<1/2$ 이면 $b_1=0$ , $1/2\le x<1$ 이면 $b_1=1$ 로 둡니다. $x_1=2x-b_1$ 로 둡니다. $x_1<1/2$ 이면 $b_2=0$ , $1/2\le x<1$ 이면 $b_2=1$ 로 둡니다. $x_2=2x_1-b_2$ 로 두고, 일반적으로 $x_n=2x_{n-1}-b_n$ 이며 $x_n<1/2$ 이면 $b_{n-1}=0$ , $1/2\le x_n<1$ 이면 $b_{n-1}=1$ 입니다. $1/3$ 의 이진 전개를 구하세요.

영어 원문 보기

[T] The binary representation $x=0.{b}_{1}{b}_{2}{b}_{3}...$ of a number $x$ between $0$ and $1$ can be defined as follows. Let ${b}_{1}=0$ if $x<1/2$ and ${b}_{1}=1$ if $1/2\le x<1.$ Let ${x}_{1}=2x-{b}_{1}.$ Let ${b}_{2}=0$ if ${x}_{1}<1/2$ and ${b}_{2}=1$ if $1/2\le x<1.$ Let ${x}_{2}=2{x}_{1}-{b}_{2}$ and in general, ${x}_{n}=2{x}_{n-1}-{b}_{n}$ and ${b}_{n-1}=0$ if ${x}_{n}<1/2$ and ${b}_{n-1}=1$ if $1/2\le {x}_{n}<1.$ Find the binary expansion of $1/3.$

풀이 보기

"두 배 해서 1이 넘으면 1을 적고 1을 빼는" 과정을 되풀이하면 같은 값이 다시 나타나 규칙이 반복돼요.

1
규칙을 이해해요. 이진수 $0.b_1b_2\ldots$ 는 $\dfrac{b_1}2+\dfrac{b_2}4+\cdots$ 를 뜻해요. 수를 두 배 했을 때 $1$ 이상이면 그 자리 숫자는 $1$ (그리고 $1$ 을 빼고), 아니면 $0$ 이에요.
2
$x=\dfrac13$ 으로 시작해요. $\dfrac13<\dfrac12$ 이므로 $b_1=0$ 이고 $x_1=2\cdot\frac13-0=\frac23$
3
다음 단계예요. $x_1=\dfrac23\ge\dfrac12$ 이므로 $b_2=1$ 이고 $x_2=2\cdot\frac23-1=\frac43-1=\frac13$
4
반복을 찾아요. $x_2=\dfrac13$ 은 처음 값과 같아요. 그러니 이후에도 $b_3=0,\ b_4=1,\ \ldots$ 가 같은 순서로 반복돼요. 따라서 $\dfrac13=0.010101\ldots_{(2)}$ 이에요.
5
검산해요. $0.010101\ldots_{(2)}=\dfrac14+\dfrac1{16}+\cdots=\dfrac{1/4}{1-1/4}=\dfrac13$ 으로 맞아요.

답

$\dfrac13=0.010101\ldots_{(2)}$ ( $01$ 이 반복)

자주 하는 실수

$x_1$ 을 계산할 때 $b_1$ 을 빼는 것을 잊어 $x_1=\tfrac23$ 대신 다른 값을 쓰는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

${b}_{1}=0,$ ${x}_{1}=2/3,$ ${b}_{2}=1,$ ${x}_{2}=4/3-1=1/3,$ so the pattern repeats, and $1/3=0.010101\ldots .$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 15번

# 수열의 수렴과 발산계산보통

6.OpenStax 2권 · 5.1절 · 1번우리말 번역

다음 각 수열의 첫 여섯 항을 $n=1$ 부터 시작하여 구하세요.

모든 $n\ge 1$ 에 대해 ${a}_{n}=1+{(-1)}^{n}$

영어 원문 보기

Find the first six terms of each of the following sequences, starting with $n=1.$

${a}_{n}=1+{(-1)}^{n}$ for $n\ge 1$

정답·풀이 보기

$n$ 이 홀수이면 ${a}_{n}=0$ 이고 $n$ 이 짝수이면 ${a}_{n}=2$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

${a}_{n}=0$ if $n$ is odd and ${a}_{n}=2$ if $n$ is even

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 9번