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문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 수열의 극한

수열의 수렴과 발산

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-2 · 3.1절 · 4번우리말 번역

다음 성질을 만족하는 수열 {an}n=1∞\{a_n\}_{n=1}^{\infty} 의 예를 하나 드세요.

  • n≤1000n \leq 1000 인 모든 nn 에 대해 an>1000a_n>1000,
  • 모든 nn 에 대해 an+1<ana_{n+1}<a_n, 그리고
  • lim⁡n→∞an=−2\lim\limits_{n \to \infty} a_n = -2
영어 원문 보기

Give an example of a sequence {an}n=1∞\{a_n\}_{n=1}^{\infty} with the following properties:

  • an>1000a_n>1000 for all n≤1000n \leq 1000,
  • an+1<ana_{n+1}<a_n for all nn, and
  • lim⁡n→∞an=−2\lim\limits_{n \to \infty} a_n = -2
정답·풀이 보기

가능한 답은 많다. 그중 하나는 다음과 같다. an={3000−n 만일 n≤1000−2+1n 만일 n>1000a_n = \begin{cases} 3000-n & \text{ 만일 }n \leq 1000\\ -2+\frac{1}{n} & \text{ 만일 }n > 1000 \end{cases} 여기서는 1000번째 항을 기준으로 앞뒤의 모양이 다른 급수를 잡았다. 모든 항이 바로 앞의 항보다 작음에 주목한다.

원하는 성질을 갖는 또 다른 수열은 다음과 같다. an=1,002,001n−2a_n=\frac{1,002,001}{n}-2 n≤1000n \leq 1000 일 때, an≥1,002,0011000−2>1,002,0001,000−2=1000a_n \geq \frac{1,002,001}{1000}-2>\frac{1,002,000}{1,000}-2=1000 이다. 즉, n≤1000n \le 1000 일 때 an>1000a_n>1000 이다. nn 이 커질수록 ana_n 은 작아지므로 모든 nn 에 대해 an+1<ana_{n+1}<a_n 이다. 마지막으로 lim⁡n→∞an=0−2=−2\lim\limits_{n \to \infty} a_n = 0-2=-2 이다.

원본 교재 풀이(영어)

There are many possible answers. One is: an={3000−n if n≤1000−2+1n if n>1000a_n = \begin{cases} 3000-n & \text{ if }n \leq 1000\\ -2+\frac{1}{n} & \text{ if }n > 1000 \end{cases} where we have a series that looks different before and after its thousandth term. Note every term is smaller than the term preceding it.

Another sequence with the desired properties is: an=1,002,001n−2a_n=\frac{1,002,001}{n}-2 When n≤1000n \leq 1000, an≥1,002,0011000−2>1,002,0001,000−2=1000a_n \geq \frac{1,002,001}{1000}-2>\frac{1,002,000}{1,000}-2=1000. That is, an>1000a_n>1000 when n≤1000n \le 1000. As nn gets larger, ana_n gets smaller, so an+1<ana_{n+1}<a_n for all nn. Finally, lim⁡n→∞an=0−2=−2\lim\limits_{n \to \infty} a_n = 0-2=-2.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 3.1절 · 7번우리말 번역

아래 수열들의 극한은 조임 정리를 이용하여 구할 수 있다. 각 수열에 대해, 조임 정리에 쓸 수 있는 위에서 누르는(위쪽 경계) 수열과 아래에서 받치는(아래쪽 경계) 수열을 선택하세요.

(a) an=sin⁡nna_n = \dfrac{\sin n}{n} (b) bn=n2en(7+sin⁡n−5cos⁡n)b_n = \dfrac{n^2}{e^n(7+\sin n - 5\cos n)} (c) cn=(−n)−nc_n = (-n)^{-n}

다 풀었으면 정답 확인

(a) 모든 nn 에 대해 −1≤sin⁡n≤1-1 \leq \sin n \leq 1 이므로, 가능한 위쪽 경계와 아래쪽 경계의 한 가지는 −1n≤sin⁡nn≤1n\dfrac{-1}{n}\le \dfrac{\sin n}{n}\le \dfrac{1}{n} 이다. lim⁡n→∞−1n=lim⁡n→∞1n\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{-1}{n} = \lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{1}{n} 이므로, 이 수열들은 조임 정리에 쓸 수 있는 올바른 비교 수열이다. (b) 모든 nn 에 대해 −1≤sin⁡n≤1 -1\leq \sin n \leq 1 이고 −5≤−5cos⁡n≤5 -5 \leq -5\cos n \leq 5 이므로

7−1−5≤7+sin⁡n−5cos⁡n≤7+red1+blue51≤7+sin⁡n−5cos⁡n≤13\begin{aligned} 7 -1 -5&\leq 7+ \sin n - 5 \cos n \leq 7+{red}1+{blue}5\\ 1&\leq 7+ \sin n - 5 \cos n \leq13 \end{aligned}

이를 통해 다음 경계를 시도해 볼 수 있다. n213en≤n2en(7+sin⁡n−5cos⁡n)≤n2en\dfrac{n^2}{13e^n} \le \dfrac{n^2}{e^n(7+\sin n - 5\cos n)} \le \dfrac{n^2}{e^n} lim⁡n→∞n213en=lim⁡n→∞n2en\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{n^2}{13e^n} = \lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{n^2}{e^n} 임을 확인한다(둘 다 0이며, 로피탈 법칙을 이용하여 확인할 수 있다). 따라서 이 경계들은 조임 정리에 쓰기에 적절하다. 또한 0≤n213en0\le \frac{n^2}{13e^n} 이므로 다음을 쓸 수도 있다. 0≤n2en(7+sin⁡n−5cos⁡n)≤n2en0 \le \dfrac{n^2}{e^n(7+\sin n - 5\cos n)} \le \dfrac{n^2}{e^n} (c) (−n)−n=1(−n)n=(−1)nnn(-n)^{-n} = \dfrac{1}{(-n)^n} = \dfrac{(-1)^n}{n^n} 이므로 −1nn≤(−n)−n≤1nn\dfrac{-1}{n^n} \le (-n)^{-n} \le \dfrac{1}{n^n} 이다. lim⁡n→∞−1nn\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{-1}{n^n} 과 lim⁡n→∞1nn\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{1}{n^n} 이 모두 0이므로, 이 경계들은 조임 정리에 쓰기에 적절하다.

이 문제로 이어서 풀기
# 수열의 수렴과 발산계산기본자동 분류
CLP-2 Integral Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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