수열의 수렴과 발산 연습문제 — CLP-2 · 3.1절 · 15번

CLP-2 · 3.1절 · 15번우리말 번역

수열 $d_n = e^{-1/n}$ 의 극한을 구하세요.

영어 원문 보기

Determine the limit of the sequence $d_n = e^{-1/n}$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\begin{aligned} d_n&=e^{-1/n}=\frac{1}{e^{1/n}}\\ \lim_{n \to \infty }d_n&=\lim_{n \to \infty }\frac{1}{e^{1/n}} = \frac{1}{e^0}=\frac11=1 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

$\begin{aligned} d_n&=e^{-1/n}=\frac{1}{e^{1/n}}\\ \lim_{n \to \infty }d_n&=\lim_{n \to \infty }\frac{1}{e^{1/n}} = \frac{1}{e^0}=\frac11=1 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 3.1절 · 18번우리말 번역

다음 수열 $\big\{a_k\big\}$ 의 극한이 존재하면 구하세요. 단,

$a_k=\frac{k!\sin^3 k}{(k+1)!}$

다 풀었으면 정답 확인

먼저 식을 간단히 한다. 0 이상의 정수 $n$ 에 대해 $n! = n(n-1)(n-2)\cdots(2)(1)$ 이므로 $(k+1)!=(k+1)k!$ 이다.

$\begin{aligned} a_k&=\frac{k!\sin^3k}{(k+1)!}=\frac{k!\sin^3k}{(k+1)k!} = \frac{\sin^3 k}{k+1} \end{aligned}$

이제 조임 정리를 사용할 수 있다.

모든 $k$ 에 대해 $-1 \leq \sin k \leq 1$ 이므로 $-1 \leq \sin^3k \leq 1$ 이다. $b_k = \frac{-1}{k+1}$ , $c_k = \frac{1}{k+1}$ 이라 하면 $b_k \leq a_k \leq c_k$ 이다.
$\lim\limits_{k \to \infty}b_k=0$ 이고 $\lim\limits_{k \to \infty}c_k=0$ 이다.

따라서 조임 정리에 의해 $\displaystyle\lim_{k\to\infty} a_k=0$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 수열의 수렴과 발산계산보통자동 분류