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문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 수열의 극한

수열의 수렴과 발산

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-2 · 3.1절 · 22번우리말 번역

lim⁡n→∞[n2+5n−n2−5n]\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left[\sqrt{n^2+5n}-\sqrt{n^2-5n}\right] 의 값을 구하세요.

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Evaluate lim⁡n→∞[n2+5n−n2−5n]\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left[\sqrt{n^2+5n}-\sqrt{n^2-5n}\right].

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먼저, 이 수열은 nn 이 작은 일부 값에서는 정의되지 않지만 n≥5n \geq 5 이면 정의되므로, n→∞n \to \infty 일 때의 극한을 취하는 데에는 문제가 없다. 둘째, 이 극한은 ∞−∞\infty-\infty 꼴의 부정형이다. 이 꼴은 부정형이므로, 극한이 존재한다면 그 값을 구하기 위해 더 계산해야 한다.

지난 학기에 이런 꼴의 함수에서 보았던 대표적인 방법은 식의 켤레식 n2+5n+n2−5n\sqrt{n^2+5n}+\sqrt{n^2-5n} 을 곱하고 나누는 것이다. 그러면 분모는 비슷한 두 항의 차가 아니라 합이 된다. 이것이 왜 도움이 되는지는 아래 계산을 보면 알 수 있다.

n2+5n−n2−5n=(n2+5n−n2−5n)(n2+5n+n2−5nn2+5n+n2−5n)=(n2+5n)−(n2−5n)n2+5n+n2−5n=10nn2+5n+n2−5n이제 분자와 분모에서 n 을 약분한다. n=n2 임에 주의한다.=10nn2+5n+n2−5n(1n1n)=10nn2+5n+n2−5n(1n1n2)=101+5n+1−5n이제 극한이 분명하다.lim⁡n→∞101+5n+1−5n=101+0+1+0=101+1=5\begin{aligned} \sqrt{n^2+5n}-\sqrt{n^2-5n}&=\big(\sqrt{n^2+5n}-\sqrt{n^2-5n}\big)\left(\frac{\sqrt{n^2+5n}+\sqrt{n^2-5n}}{\sqrt{n^2+5n}+\sqrt{n^2-5n}}\right)\\ &=\frac{(n^2+5n)-(n^2-5n)}{\sqrt{n^2+5n}+\sqrt{n^2-5n}}\\ &=\frac{10n}{\sqrt{n^2+5n}+\sqrt{n^2-5n}} \\ \text{이제 분자와 분모에서 $n$ 을 약분한다. $n=\sqrt{n^2}$ 임에 주의한다.} \\ &=\frac{10n}{\sqrt{n^2+5n}+\sqrt{n^2-5n}}\left(\frac{\frac1n}{\frac1n}\right)\\ &=\frac{10n}{\sqrt{n^2+5n}+\sqrt{n^2-5n}}\left(\frac{\frac1n}{\frac{1}{\sqrt{n^2}}}\right)\\ &=\frac{10}{\sqrt{1+\frac5n}+\sqrt{1-\frac5n}} \\ \text{이제 극한이 분명하다.} \\ \lim_{n \to \infty}\frac{10}{\sqrt{1+\frac5n}+\sqrt{1-\frac5n}}&=\frac{10}{\sqrt{1+0}+\sqrt{1+0}}=\frac{10}{1+1}=5 \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

First, although this sequence is not defined for some small values of nn, it is defined as long as n≥5n \geq 5, so it's not a problem to take the limit as n→∞n \to \infty. Second, we notice that our limit has the indeterminate form ∞−∞\infty-\infty. Since this form is indeterminate, more work is needed to find our limit, if it exists.

A standard trick we saw last semester with functions of this form was to multiply and divide by the conjugate of the expression, n2+5n+n2−5n\sqrt{n^2+5n}+\sqrt{n^2-5n}. Then the denominator will be the sum of two similar things, rather than their difference. See the work below to find out why that is helpful.

n2+5n−n2−5n=(n2+5n−n2−5n)(n2+5n+n2−5nn2+5n+n2−5n)=(n2+5n)−(n2−5n)n2+5n+n2−5n=10nn2+5n+n2−5nNow, we’ll cancel out n from the top and the bottom. Note n=n2.=10nn2+5n+n2−5n(1n1n)=10nn2+5n+n2−5n(1n1n2)=101+5n+1−5nNow, the limit is clear.lim⁡n→∞101+5n+1−5n=101+0+1+0=101+1=5\begin{aligned} \sqrt{n^2+5n}-\sqrt{n^2-5n}&=\big(\sqrt{n^2+5n}-\sqrt{n^2-5n}\big)\left(\frac{\sqrt{n^2+5n}+\sqrt{n^2-5n}}{\sqrt{n^2+5n}+\sqrt{n^2-5n}}\right)\\ &=\frac{(n^2+5n)-(n^2-5n)}{\sqrt{n^2+5n}+\sqrt{n^2-5n}}\\ &=\frac{10n}{\sqrt{n^2+5n}+\sqrt{n^2-5n}} \\ \text{Now, we'll cancel out $n$ from the top and the bottom. Note $n=\sqrt{n^2}$.} \\ &=\frac{10n}{\sqrt{n^2+5n}+\sqrt{n^2-5n}}\left(\frac{\frac1n}{\frac1n}\right)\\ &=\frac{10n}{\sqrt{n^2+5n}+\sqrt{n^2-5n}}\left(\frac{\frac1n}{\frac{1}{\sqrt{n^2}}}\right)\\ &=\frac{10}{\sqrt{1+\frac5n}+\sqrt{1-\frac5n}} \\ \text{Now, the limit is clear.} \\ \lim_{n \to \infty}\frac{10}{\sqrt{1+\frac5n}+\sqrt{1-\frac5n}}&=\frac{10}{\sqrt{1+0}+\sqrt{1+0}}=\frac{10}{1+1}=5 \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 3.1절 · 21번우리말 번역

수열 {log⁡(sin⁡1n)+log⁡(2n)} \displaystyle\left\{\log\left(\sin\frac{1}{n}\right)+\log(2n)\right\} 의 극한을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

먼저 상황을 정리해 보자. n→∞n \to \infty 일 때 sin⁡(1/n)→sin⁡(0)=0\sin(1/n) \to \sin (0)=0 이므로 log⁡(sin⁡(1/n))→−∞\log\left(\sin(1/n)\right) \to -\infty 이다. 그런데 log⁡(2n)→∞\log(2n) \to \infty 이다. 따라서 두 부분이 수열의 항을 서로 다른 방향으로 끌어당기는 상황이 되어 판단하기 어렵다. ("−∞+∞=0-\infty+\infty=0" 과 같은 결론을 내릴 수 없음을 떠올리자.)

로그의 성질을 이용하여 더 명확하게 살펴보자.

log⁡(sin⁡1n)+log⁡(2n)=log⁡(2nsin⁡(1n))\begin{aligned} \log\left(\sin\frac{1}{n}\right)+\log(2n)&=\log\left(2n\sin\left(\frac1n\right)\right) \end{aligned}

그래도 여전히 부정형이다. 2nsin⁡(1/n)2n\sin(1/n) 은 한없이 커지는 2n2n 과 0에 가까워지는 sin⁡(1/n)\sin(1/n) 의 곱이기 때문이다. 앞에서 우리는 (약간의 식 변형 후) 로피탈의 정리로 부정형 0⋅∞0\cdot\infty 를 다룰 수 있음을 배웠지만, 더 간단한 방법이 있다. n→∞n \to \infty 일 때 1/n→01/n \to 0 임에 주목하자. 1n=x\frac{1}{n}=x 로 놓으면, 이 극한의 한 부분이 익숙한 꼴이 된다.

2nsin⁡(1n)=2(sin⁡xx)n→∞ 이면 x=1n→0 이다.lim⁡n→∞2nsin⁡(1n)=2lim⁡x→0sin⁡xx이 극한은 익숙하다:=2(1)=2그러면:lim⁡n→∞log⁡(2nsin⁡(1n))=log⁡2\begin{aligned} 2n\sin\left(\frac{1}{n}\right)&=2\left(\frac{\sin x}{x}\right) \\ \text{$n \to \infty$ 이면 $x = \frac{1}{n}\to 0$ 이다.} \\ \lim_{n \to \infty}2n\sin\left(\frac{1}{n}\right)&=2\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} \\ \text{이 극한은 익숙하다:} \\ &=2(1)=2 \\ \text{그러면:} \\ \lim_{n \to \infty}\log\left(2n\sin\left(\frac{1}{n}\right)\right)&=\log 2 \end{aligned}

참고: lim⁡x→0sin⁡xx=1\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1 임을 잊었다면, 이 극한도 로피탈의 정리를 이용하여 구할 수 있다.

lim⁡x→0sin⁡xx⏟num→0den→0=lim⁡x→0cos⁡x1=cos⁡0=1\begin{aligned} \underbrace{\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to 0}{\mathrm{den}\to0}} &=\lim_{x \to 0}\frac{\cos x}{1}=\cos 0 =1 \end{aligned}

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# 수열의 수렴과 발산계산도전자동 분류
CLP-2 Integral Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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