급수의 수렴과 발산 연습문제 — CLP-2 · 3.2절 · 27번

CLP-2 · 3.2절 · 27번우리말 번역

$\displaystyle\sum_{n=5}^\infty \log\left(\frac{n-3}{n}\right)$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\sum_{n=5}^\infty \log\left(\frac{n-3}{n}\right)$ .

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로그의 성질을 이용하면 다음을 알 수 있다. $\displaystyle\sum_{n=5}^\infty \log\left(\frac{n-3}{n}\right)= \displaystyle\sum_{n=5}^\infty \big[\log(n-3)-\log n\big]$ 이는 망원급수처럼 보인다. 부분합을 알아보기 위해 표를 만들어 보자.

$\begin{array}{c||cc||c} \mathbf{n}&\mathbf{\log(n-3)}&\mathbf{-\log n}&\mathbf{s_n}\\[7pt] \hline 5&\log 2&-\log 5&\log 2 - \log 5\\[7pt] 6&\log 3&-\log 6&\log 2 +\log 3- \log 5-\log 6\\[7pt] 7&\log 4&-\log 7&\log 2 +\log 3+\log 4- \log 5-\log 6 -\log 7\\[7pt] 8&\log 5&-\log 8&\log 2 +\log 3+\log 4 -\log 6 -\log 7-\log 8\\[7pt] 9&\log 6&-\log 9&\log 2 +\log 3+\log 4 -\log 7-\log 8-\log 9\\[7pt] 10&\log 7&-\log 10&\log 2 +\log 3+\log 4 -\log 8-\log 9-\log 10\\[7pt] 11&\log 8&-\log 11&\log 2 +\log 3+\log 4 -\log 9-\log 10-\log 11\\[7pt] \vdots&&& \end{array}$

항들이 소거되기 전에 "지연"이 있으므로, 앞선 예에서 본 것보다 항들이 더 많이 "쌓인다". 그래도 $N$ 번째 부분합은 분명히 알 수 있다.

$\begin{aligned} \sum_{n=5}^N \Big(\log(n-3)-\log(n)\Big)&=\log 2+\log 3 + \log 4 - \log(N-2)-\log(N-1)-\log(N)\\ &=\log \left(\frac{24}{N(N-1)(N-2)}\right) \\ \text{$N \geq 7$ 일 때, 따라서} \\ \sum_{n=5}^\infty \Big(\log(n-3)-\log(n)\Big)&= \lim_{N \to \infty}s_N\\ &=\lim_{N \to \infty}\log \left(\frac{24}{N(N-1)(N-2)}\right) \\&=-\infty \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Using logarithm rules, we see $\displaystyle\sum_{n=5}^\infty \log\left(\frac{n-3}{n}\right)= \displaystyle\sum_{n=5}^\infty \big[\log(n-3)-\log n\big]$ which looks like a telescoping series. Let's make a table to figure out the partial sums.

There is a “lag" before the terms cancel, which is why they “build up" more than we saw in past examples. Still, we can clearly see the $N$ th partial sum:

$\begin{aligned} \sum_{n=5}^N \Big(\log(n-3)-\log(n)\Big)&=\log 2+\log 3 + \log 4 - \log(N-2)-\log(N-1)-\log(N)\\ &=\log \left(\frac{24}{N(N-1)(N-2)}\right) \\ \text{when $N \geq 7$. So,} \\ \sum_{n=5}^\infty \Big(\log(n-3)-\log(n)\Big)&= \lim_{N \to \infty}s_N\\ &=\lim_{N \to \infty}\log \left(\frac{24}{N(N-1)(N-2)}\right) \\&=-\infty \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 3.2절 · 28번우리말 번역

$\displaystyle\sum_{n=2}^\infty \left(\frac{2}{n}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n-1} \right)$ 의 값을 구하세요.

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이 급수는 망원급수이다. 늘 하던 방법대로 살펴보자. 소거되는 규칙을 더 분명히 보이기 위해 $\frac{2}{n}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n-1}= \frac{1}{n}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n-1}$ 로 나타내고, 표 가운데의 분수는 간단히 하지 않고 그대로 둔다. 그러면 모든 분수의 분자가 1이고, 분모가 같고 부호가 반대인 두 항이 서로 소거된다.

$\begin{array}{c||cccc||c} \mathbf{n}&\mathbf{\dfrac{1}{n}}&\mathbf{\dfrac{1}{n}}&\mathbf{-\dfrac{1}{n+1}}&\mathbf{-\dfrac{1}{n-1}}&\mathbf{s_n}\\[7pt] \hline 2&\dfrac{1}{2}&{{\dfrac{1}{2}}}&{{-\dfrac{1}{3}}}&-\dfrac{1}{1}& \dfrac{1}{2}+{{\dfrac{1}{2}}} {{-\dfrac{1}{3}}}-\dfrac{1}{1}\\[10pt] 3&{{\dfrac{1}{3}}}&{{\dfrac{1}{3}}}&{{-\dfrac{1}{4}}}&{{-\dfrac{1}{2}}}& \dfrac{1}{2}+{{\dfrac{1}{3}}}{{-\dfrac{1}{4}}}-\dfrac{1}{1}\\[10pt] 4&{{\dfrac{1}{4}}}&{{\dfrac{1}{4}}}&{{-\dfrac{1}{5}}}&{{-\dfrac{1}{3}}}& \dfrac{1}{2}+{{\dfrac{1}{4}}} {{-\dfrac{1}{5}}}-\dfrac{1}{1}\\[10pt] 5&{{\dfrac{1}{5}}}&{{\dfrac{1}{5}}}&{{-\dfrac{1}{6}}}&{{-\dfrac{1}{4}}}& \dfrac{1}{2}+{{\dfrac{1}{5}}}{{-\dfrac{1}{6}}}-\dfrac{1}{1}\\[10pt] 6&{{\dfrac{1}{6}}}&{{\dfrac{1}{6}}}&{{-\dfrac{1}{7}}}&{{-\dfrac{1}{5}}}& \dfrac{1}{2}+{{\dfrac{1}{6}}}{{-\dfrac{1}{7}}}-\dfrac{1}{1}\\[10pt] 7&{{\dfrac{1}{7}}}&{{\dfrac{1}{7}}}&{{-\dfrac{1}{8}}}&{{-\dfrac{1}{6}}}& \dfrac{1}{2}+{{\dfrac{1}{7}}} {{-\dfrac{1}{8}}}-\dfrac{1}{1}\\[10pt] 8&{{\dfrac{1}{8}}}&\dfrac{1}{8}&-\dfrac{1}{9}&{{-\dfrac{1}{7}}}& \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{1}\\[10pt] \vdots&&&& \end{array}$

맨 첫 행과 맨 마지막 행을 제외한 임의의 행 $n$ 에 주목하자. 그 행의 첫 번째 $\frac{1}{n}$ 은 바로 위 행 가운데에 있는 $-\frac{1}{n}$ 과 소거되고, 그 행의 두 번째 $\frac{1}{n}$ 은 바로 아래 행 끝에 있는 $-\frac{1}{n}$ 과 소거된다. 첫 번째( $n=2$ ) 행의 경우, 첫 행 위에는 행이 없으므로 첫 번째 $\frac{1}{2}$ 과 마지막 $-\frac{1}{1}$ 은 끝내 소거되지 않는다. 또 맨 마지막 행의 경우, 마지막 행 다음에는 행이 없으므로 가운데의 두 항은 끝내 소거되지 않는다. 따라서 부분합은 다음과 같다.

$\begin{aligned} s_N&=\sum_{n=2}^N \left(\frac{2}{n}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n-1} \right) =\overbrace{\frac{1}{2}-\frac{1}{1}}^{\text{첫째 행에서}} +\overbrace{\frac{1}{N}-\frac{1}{N+1}}^{\text{마지막 행에서}} \end{aligned}$

위의 논의에서 착안하여 같은 $s_N$ 을 대수적인 계산만으로 구하는 또 다른 방법이 있다.

$\begin{aligned} s_N&=\sum_{n=2}^N \left(\frac{2}{n}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n-1} \right) \\ &=\sum_{n=2}^N \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) +\sum_{n=2}^N\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n-1} \right) \end{aligned}$

앞의 합은

$\begin{aligned} \sum_{n=2}^N \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) &=\left(\frac{1}{2}{{-\frac{1}{3}}}\right) + \left({{\frac{1}{3}}} {{-\frac{1}{4}}}\right) + \left({{\frac{1}{4}}}{{-\frac{1}{5}}}\right) + \cdots +\left({{\frac{1}{N}}}-\frac{1}{N+1}\right) \\ &=\left[\frac{1}{2}-\frac{1}{N+1}\right] \end{aligned}$

이고, 뒤의 합은

$\begin{aligned} \sum_{n=2}^N\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n-1} \right) &=\left({{\frac{1}{2}}}-\frac{1}{1} \right) + \left({{\frac{1}{3}}}{{-\frac{1}{2}}} \right) + \left({{\frac{1}{4}}}{{-\frac{1}{3}}}\right) +\cdots + \left(\frac{1}{N}-{{\frac{1}{N-1}}} \right) \\ &=\left\{-\frac{1}{1}+\frac{1}{N}\right\} \end{aligned}$

이다. 그러므로

$\begin{aligned} s_N&=\left[\frac{1}{2}-\frac{1}{N+1}\right]+\left\{-\frac{1}{1}+\frac{1}{N}\right\} \\ &=-\frac{1}{2}+\frac{1}{N}-\frac{1}{N+1} \end{aligned}$

이고, 극한을 구하면 다음과 같다.

$\begin{aligned} \sum_{n=2}^\infty \left(\frac{2}{n}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n-1} \right)&=\lim_{N \to \infty}s_N\\&=\lim_{N \to \infty} \left[-\frac{1}{2} +\frac{1}{N}-\frac{1}{N+1}\right]\\ &=-\frac{1}{2} \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 급수의 수렴과 발산계산보통자동 분류