급수의 수렴과 발산 연습문제

1.OpenStax 2권 · 5.2절 · 3번우리말 풀이

시그마 기호를 써서 다음 식을 무한급수로 나타내세요.

$1-\dfrac12+\dfrac13-\dfrac14+\cdots$

영어 원문 보기

Using sigma notation, write the following expressions as infinite series.

$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...$

풀이 보기

분모의 규칙과 부호의 규칙을 따로 찾아 곱해요.

1
분모를 봐요. $1,2,3,4,\ldots$ 이므로 $n$ 번째 항의 크기는 $\dfrac1n$ 이에요.
2
부호를 봐요. $+,-,+,-,\ldots$ 로 번갈아 바뀌어요. 첫 항이 $+$ 이므로 $n=1$ 에서 $+1$ 이 되도록 $(-1)^{n-1}$ 을 써요( $n=2$ 면 $-1$ ).
3
합쳐서 써요. $1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}$

답

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}$

자주 하는 실수

부호를 $(-1)^n$ 으로 써서 첫 항이 $-1$ 이 되는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{(-1)}^{n-1}}{n}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.2절 · 47번

# 급수의 수렴과 발산계산기본

2.OpenStax 2권 · 5.2절 · 7번우리말 풀이

다음과 같이 $n=1$ 부터 시작하는 급수의 $n$ 번째 항이 $a_n$ 일 때, 처음 네 개의 부분합 $S_1,\ldots,S_4$ 를 구하세요.

$a_n=\sin(n\pi/2)$

영어 원문 보기

Compute the first four partial sums ${S}_{1},\ldots ,{S}_{4}$ for the series having $n\text{th}$ term ${a}_{n}$ starting with $n=1$ as follows.

${a}_{n}=\sin (n\pi /2)$

답 쓰고 채점

풀이 보기

부분합 $S_k$ 는 처음 $k$ 개의 항을 더한 값이에요.

1
각 항을 구해요. $\sin\frac{\pi}{2}=1$ , $\sin\pi=0$ , $\sin\frac{3\pi}{2}=-1$ , $\sin2\pi=0$ 이므로 $a_1=1,\ a_2=0,\ a_3=-1,\ a_4=0$ 이에요.
2
차례로 더해요. $S_1=1,\quad S_2=1+0=1,\quad S_3=1+0+(-1)=0,\quad S_4=0+0=0$

답

$S_1=1,\ S_2=1,\ S_3=0,\ S_4=0$

자주 하는 실수

부분합을 항 자체와 혼동해 $S_3=-1$ 처럼 쓰는 실수가 있어요(부분합은 누적한 합이에요).

원본 교재 풀이(영어)

$1,1,0,0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 3번

# 급수의 수렴과 발산계산기본

3.OpenStax 2권 · 5.2절 · 21번우리말 풀이

주어진 급수가 수렴하는지 말하고, 그 이유를 설명하세요.

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1000}$ (힌트: 인덱스를 바꾸어 다시 쓰세요.)

영어 원문 보기

State whether the given series converges and explain why.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n+1000}$ (Hint: Rewrite using a change of index.)

풀이 보기

처음 몇 개의 항을 없애도 급수의 수렴·발산은 변하지 않아요. 그래서 알려진 조화급수와 같아져요.

1
인덱스를 바꿔요. $m=n+1000$ 으로 두면 $n=1$ 일 때 $m=1001$ 이에요. $\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n+1000}=\sum_{m=1001}^{\infty}\frac1m$ 조화급수 $\sum_{m=1}^\infty\frac1m$ 에서 처음 $1000$ 개 항을 뺀 급수예요.
2
조화급수는 발산해요. 항들을 $\dfrac12$ 이상씩 묶을 수 있어요. 예를 들어 $\frac13+\frac14>\frac14+\frac14=\frac12,\quad \frac15+\cdots+\frac18>\frac48=\frac12,\ \ldots$ 이렇게 묶을 때마다 $\frac12$ 보다 큰 값이 계속 더해져서 합이 한없이 커져요.
3
결론을 내려요. 유한 개의 항을 더하거나 빼도 수렴·발산은 바뀌지 않으므로 이 급수도 발산해요. (각 항이 $0$ 으로 가는데도 발산한다는 점에 주의하세요.)

답

발산한다 ( $\displaystyle\sum_{n=1001}^{\infty}\frac1n$ 과 같음)

자주 하는 실수

일반항이 $0$ 으로 가니 수렴한다고 판단하는 실수가 많아요(그것은 수렴의 필요조건일 뿐이에요).

원본 교재 풀이(영어)

diverges, $\sum_{n=1001}^{\infty }\frac{1}{n}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 39번

# 급수의 수렴과 발산개념 확인보통

4.OpenStax 2권 · 5.2절 · 39번우리말 풀이

다음 급수를 서로 소거되는 합(망원합) 꼴로 나타내고, 제 $n$ 항까지의 부분합을 구하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }\ln \left(\frac{n}{n+1}\right)$

영어 원문 보기

Express the following series as a telescoping sum and evaluate its nth partial sum.

$\sum_{n=1}^{\infty }\ln \left(\frac{n}{n+1}\right)$

풀이 보기

로그의 나눗셈은 뺄셈으로 바꿀 수 있어서, 항을 늘어놓으면 가운데 항들이 줄줄이 사라져요.

1
먼저 로그의 성질 $\ln\frac{a}{b}=\ln a-\ln b$ 를 써서 일반항을 뺄셈 꼴로 바꿔요.

$\ln\left(\frac{n}{n+1}\right)=\ln n-\ln(n+1)$

그래서 급수는 $\sum_{n=1}^{\infty}\big(\ln n-\ln(n+1)\big)$ 로 쓸 수 있어요.
2
부분합 $S_k$ 는 처음 $k$ 개의 항을 더한 값이에요. 왜 이렇게 쓰냐면, 항을 직접 늘어놓아야 무엇이 소거되는지 보이기 때문이에요.

$S_k=(\ln 1-\ln 2)+(\ln 2-\ln 3)+(\ln 3-\ln 4)+\cdots+(\ln k-\ln(k+1))$
3
이웃한 항끼리 $-\ln 2$ 와 $+\ln 2$ , $-\ln 3$ 와 $+\ln 3$ 처럼 서로 지워져요. 남는 것은 맨 앞의 $\ln 1$ 과 맨 뒤의 $-\ln(k+1)$ 뿐이에요.
4
$\ln 1=0$ 이므로 부분합은 다음과 같아요.

$S_k=\ln 1-\ln(k+1)=-\ln(k+1)$

참고로 $k\to\infty$ 이면 $S_k\to-\infty$ 이므로 이 급수는 발산해요.

답

$\sum_{n=1}^{\infty}\big(\ln n-\ln(n+1)\big)$ , $\;S_k=-\ln(k+1)$

자주 하는 실수

$\ln 1$ 을 $1$ 로 착각하면 안 돼요. $\ln 1=0$ 이에요.

원본 교재 풀이(영어)

$\sum_{n=1}^{\infty }\ln n-\ln (n+1),{S}_{k}=-\ln (k+1)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 7번

# 급수의 수렴과 발산계산보통

5.OpenStax 2권 · 5.2절 · 43번우리말 풀이

일반적인 망원급수란, 연속한 항들을 어느 정도 더하고 나면 처음 몇 항을 빼고는 모두 지워지는 급수입니다.

$a_n=f(n)-2f(n+1)+f(n+2)$ 이고 $n\to\infty$ 일 때 $f(n)\to0$ 이라고 합시다. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 을 구하세요.

영어 원문 보기

A general telescoping series is one in which all but the first few terms cancel out after summing a given number of successive terms.

Let ${a}_{n}=f(n)-2f(n+1)+f(n+2),$ in which $f(n)\to 0$ as $n\to \infty .$ Find $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}.$

풀이 보기

$a_n$ 을 "앞뒤가 지워지는 차"의 꼴로 바꾸면 부분합이 몇 개 항만 남아요.

1
$a_n$ 을 두 개의 차로 나눠요. $-2f(n+1)=-f(n+1)-f(n+1)$ 이므로 $a_n=\big[f(n)-f(n+1)\big]-\big[f(n+1)-f(n+2)\big]$
2
부분합 $S_N$ 을 써요. 각 대괄호를 따로 더하면 이웃한 항이 지워져요. $\sum_{n=1}^N\big[f(n)-f(n+1)\big]=f(1)-f(N+1),\qquad \sum_{n=1}^N\big[f(n+1)-f(n+2)\big]=f(2)-f(N+2)$ $S_N=f(1)-f(N+1)-f(2)+f(N+2)$
3
$N\to\infty$ 로 보내요. $f(N+1)\to0$ , $f(N+2)\to0$ 이므로 $\sum_{n=1}^\infty a_n=\lim_{N\to\infty}S_N=f(1)-f(2)$

답

$f(1)-f(2)$

자주 하는 실수

두 번째 대괄호의 부호를 놓쳐 $f(1)+f(2)$ 로 쓰는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

$\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}=f(1)-f(2)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 57번

# 급수의 수렴과 발산계산도전

6.OpenStax 2권 · 5.2절 · 57번우리말 풀이

[계산기 사용] 공정한 동전을 던질 때, 앞면이 두 번째로 나오는 것이 짝수 번째 던지기에서일 확률을 구하세요.

영어 원문 보기

[T] Find the probability that a fair coin will come up heads for the second time after an even number of flips.

답 쓰고 채점

풀이 보기

$n$ 번째에서 두 번째 앞면이 나올 확률을 식으로 쓰고, 짝수 $n$ 에 대해 모두 더하면 급수가 돼요.

1
$n$ 번째 던지기에서 두 번째 앞면이 나오려면, 앞의 $n-1$ 번 중 앞면이 정확히 1번이고 $n$ 번째가 앞면이어야 해요. 앞면이 나올 자리를 고르는 방법이 $n-1$ 가지이므로 확률은 다음과 같아요.

$P(n)=(n-1)\left(\frac12\right)^{n}$
2
짝수 번째만 모으면 되니까 $n=2m$ ( $m=1,2,3,\dots$ ) 으로 놓아요.

$P(2m)=\frac{2m-1}{2^{2m}}=\frac{2m-1}{4^{m}}$

구하는 확률은 $\displaystyle\sum_{m=1}^{\infty}\frac{2m-1}{4^{m}}$ 이에요.
3
식을 둘로 쪼개요. 각각 계산하기 쉬운 급수가 되기 때문이에요.

$\sum_{m=1}^{\infty}\frac{2m-1}{4^{m}}=2\sum_{m=1}^{\infty}m\left(\frac14\right)^{m}-\sum_{m=1}^{\infty}\left(\frac14\right)^{m}$
4
$|x|<1$ 일 때 $\sum_{m=1}^{\infty}x^m=\frac{x}{1-x}$ 이고 $\sum_{m=1}^{\infty}m x^m=\frac{x}{(1-x)^2}$ 이에요. $x=\frac14$ 를 넣으면

$\sum m\left(\tfrac14\right)^m=\frac{1/4}{(3/4)^2}=\frac49,\qquad \sum\left(\tfrac14\right)^m=\frac{1/4}{3/4}=\frac13$
5
따라서 확률은 다음과 같아요.

$2\cdot\frac49-\frac13=\frac89-\frac39=\frac59$

답

$\dfrac59$

자주 하는 실수

두 번째 앞면이 나오는 확률을 $\left(\frac12\right)^n$ 으로만 쓰고 앞의 $n-1$ 번 중 앞면 자리를 고르는 경우의 수 $(n-1)$ 을 빠뜨려요.

원본 교재 풀이(영어)

$5/9$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 21번

# 급수의 수렴과 발산활용도전

7.OpenStax 2권 · 5.2절 · 1번우리말 번역

시그마 기호를 사용하여 다음 식을 무한급수로 나타내세요.

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots$

영어 원문 보기

Using sigma notation, write the following expressions as infinite series.

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots$

정답·풀이 보기

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$

원본 교재 풀이(영어)

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 9번

# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류

8.OpenStax 2권 · 5.2절 · 2번우리말 번역

시그마 기호를 사용하여 다음 식을 무한급수로 나타내세요.

$1-1+1-1+\cdots$

영어 원문 보기

Using sigma notation, write the following expressions as infinite series.

$1-1+1-1+\cdots$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.2절 · 28번

# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류

9.OpenStax 2권 · 5.2절 · 4번우리말 번역

시그마 기호를 사용하여 다음 식을 무한급수로 나타내세요.

$\sin 1+\sin \frac{1}{2}+\sin \frac{1}{3}+\sin \frac{1}{4}+\cdots$

영어 원문 보기

Using sigma notation, write the following expressions as infinite series.

$\sin 1+\sin \frac{1}{2}+\sin \frac{1}{3}+\sin \frac{1}{4}+\cdots$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 37번

# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류

10.OpenStax 2권 · 5.2절 · 5번우리말 번역

$n=1$ 부터 시작하는 급수의 제 $n$ 항이 ${a}_{n}$ 일 때, 다음에 대해 처음 네 개의 부분합 ${S}_{1},\ldots ,{S}_{4}$ 를 구하세요.

${a}_{n}=n$

영어 원문 보기

Compute the first four partial sums ${S}_{1},\ldots ,{S}_{4}$ for the series having $n\text{th}$ term ${a}_{n}$ starting with $n=1$ as follows.

${a}_{n}=n$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$1,3,6,10$

원본 교재 풀이(영어)

$1,3,6,10$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 1번

# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류

11.OpenStax 2권 · 5.2절 · 6번우리말 번역

$n=1$ 부터 시작하는 급수의 제 $n$ 항이 ${a}_{n}$ 일 때, 다음에 대해 처음 네 개의 부분합 ${S}_{1},\ldots ,{S}_{4}$ 를 구하세요.

${a}_{n}=1/n$

영어 원문 보기

Compute the first four partial sums ${S}_{1},\ldots ,{S}_{4}$ for the series having $n\text{th}$ term ${a}_{n}$ starting with $n=1$ as follows.

${a}_{n}=1/n$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 63번

# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류

12.OpenStax 2권 · 5.2절 · 8번우리말 번역

다음과 같이 $n=1$ 부터 시작하는 $n\text{th}$ 항이 ${a}_{n}$ 인 급수에 대해 처음 네 부분합 ${S}_{1},\ldots ,{S}_{4}$ 를 구하세요.

${a}_{n}={(-1)}^{n}$

영어 원문 보기

Compute the first four partial sums ${S}_{1},\ldots ,{S}_{4}$ for the series having $n\text{th}$ term ${a}_{n}$ starting with $n=1$ as follows.

${a}_{n}={(-1)}^{n}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.2절 · 3번

# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류

13.OpenStax 2권 · 5.2절 · 9번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 부분합 ${S}_{n}$ 을 갖는 급수의 일반항 ${a}_{n}$ 을 구하세요. 부분합의 수열이 수렴하면 그 극한 $S$ 를 구하세요.

${S}_{n}=1-\frac{1}{n},$ $n\ge 2$

영어 원문 보기

In the following exercises, compute the general term ${a}_{n}$ of the series with the given partial sum ${S}_{n}.$ If the sequence of partial sums converges, find its limit $S.$

${S}_{n}=1-\frac{1}{n},$ $n\ge 2$

정답·풀이 보기

${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$ . 급수는 $S=1$ 로 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}.$ Series converges to $S=1.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.2절 · 5번

# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류

14.OpenStax 2권 · 5.2절 · 10번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 부분합 ${S}_{n}$ 을 갖는 급수의 일반항 ${a}_{n}$ 을 구하세요. 부분합의 수열이 수렴하면 그 극한 $S$ 를 구하세요.

${S}_{n}=\frac{n(n+1)}{2},$ $n\ge 1$

영어 원문 보기

In the following exercises, compute the general term ${a}_{n}$ of the series with the given partial sum ${S}_{n}.$ If the sequence of partial sums converges, find its limit $S.$

${S}_{n}=\frac{n(n+1)}{2},$ $n\ge 1$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.2절 · 27번

# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류

15.OpenStax 2권 · 5.2절 · 11번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 부분합 ${S}_{n}$ 을 갖는 급수의 일반항 ${a}_{n}$ 을 구하세요. 부분합의 수열이 수렴하면 그 극한 $S$ 를 구하세요.

${S}_{n}=\sqrt{n},n\ge 2$

영어 원문 보기

In the following exercises, compute the general term ${a}_{n}$ of the series with the given partial sum ${S}_{n}.$ If the sequence of partial sums converges, find its limit $S.$

${S}_{n}=\sqrt{n},n\ge 2$

정답·풀이 보기

${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}=\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}$ . 부분합이 유계가 아니므로 급수는 발산한다.

원본 교재 풀이(영어)

${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}=\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}.$ Series diverges because partial sums are unbounded.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 13번

# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류

16.OpenStax 2권 · 5.2절 · 12번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 부분합 ${S}_{n}$ 을 갖는 급수의 일반항 ${a}_{n}$ 을 구하세요. 부분합의 수열이 수렴하면 그 극한 $S$ 를 구하세요.

${S}_{n}=2-(n+2)/{2}^{n},n\ge 1$

영어 원문 보기

In the following exercises, compute the general term ${a}_{n}$ of the series with the given partial sum ${S}_{n}.$ If the sequence of partial sums converges, find its limit $S.$

${S}_{n}=2-(n+2)/{2}^{n},n\ge 1$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.2절 · 2번

# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류

17.OpenStax 2권 · 5.2절 · 13번우리말 번역

다음 각 급수에 대해 부분합의 수열을 이용하여 급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{n+2}$

영어 원문 보기

For each of the following series, use the sequence of partial sums to determine whether the series converges or diverges.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{n+2}$

정답·풀이 보기

${S}_{1}=1/3,$ ${S}_{2}=1/3+2/4>1/3+1/3=2/3,$ ${S}_{3}=1/3+2/4+3/5>3\cdot (1/3)=1$ 이다. 일반적으로 ${S}_{k}>k/3$ 이다. 급수는 발산한다.

원본 교재 풀이(영어)

${S}_{1}=1/3,$ ${S}_{2}=1/3+2/4>1/3+1/3=2/3,$ ${S}_{3}=1/3+2/4+3/5>3\cdot (1/3)=1.$ In general ${S}_{k}>k/3.$ Series diverges.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 43번

# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류

18.OpenStax 2권 · 5.2절 · 14번우리말 번역

다음 각 급수에 대해 부분합의 수열을 이용하여 급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }(1-{(-1)}^{n}))$

영어 원문 보기

For each of the following series, use the sequence of partial sums to determine whether the series converges or diverges.

$\sum_{n=1}^{\infty }(1-{(-1)}^{n}))$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 19번

# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류

19.OpenStax 2권 · 5.2절 · 15번우리말 번역

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{(n+1)(n+2)}$ (힌트: $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n(n+1)}.)$ 에서와 같은 부분분수분해를 이용하세요.)

영어 원문 보기

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{(n+1)(n+2)}$ (Hint: Use a partial fraction decomposition like that for $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n(n+1)}.)$

정답·풀이 보기

$\begin{array}{c}{S}_{1}=1/(2.3)=1/6=2/3-1/2, \\ {S}_{2}=1/(2.3)+1/(3.4)=2/12+1/12=1/4=3/4-1/2, \\ {S}_{3}=1/(2.3)+1/(3.4)+1/(4.5)=10/60+5/60+3/60=3/10=4/5-1/2, \\ {S}_{4}=1/(2.3)+1/(3.4)+1/(4.5)+1/(5.6)=10/60+5/60+3/60+2/60=1/3=5/6-1/2.\end{array}$

규칙은 ${S}_{k}=(k+1)/(k+2)-1/2$ 이고, 이 급수는 $1/2$ 로 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

$\begin{array}{c}{S}_{1}=1/(2.3)=1/6=2/3-1/2, \\ {S}_{2}=1/(2.3)+1/(3.4)=2/12+1/12=1/4=3/4-1/2, \\ {S}_{3}=1/(2.3)+1/(3.4)+1/(4.5)=10/60+5/60+3/60=3/10=4/5-1/2, \\ {S}_{4}=1/(2.3)+1/(3.4)+1/(4.5)+1/(5.6)=10/60+5/60+3/60+2/60=1/3=5/6-1/2.\end{array}$

The pattern is ${S}_{k}=(k+1)/(k+2)-1/2$ and the series converges to $1/2.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 67번

# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류

20.OpenStax 2권 · 5.2절 · 16번우리말 번역

다음 각 급수에 대하여 부분합의 수열을 이용하여 급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{2n+1}$ (힌트: $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}.)$ 의 풀이 과정을 따라 해 보세요.)

영어 원문 보기

For each of the following series, use the sequence of partial sums to determine whether the series converges or diverges.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{2n+1}$ (Hint: Follow the reasoning for $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}.)$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 33번

# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류