비교 판정법 연습문제 — CLP-2 · 3.3절 · 3번

CLP-2 · 3.3절 · 3번대학 수준우리말 번역

어떤 기준이 있어서, 그 기준을 넘으면 나이가 많다고 하고, 그 기준에 못 미치면 젊다고 한다고 가정하세요.

올라프는 나이가 많은 사람이고, 위안은 젊은 사람이라고 하세요.

(a) 내가 올라프보다 나이가 많다고 가정하세요. 나는 나이가 많은가요? (b) 내가 올라프보다 나이가 적다고 가정하세요. 나는 나이가 많은가요? (c) 내가 위안보다 나이가 많다고 가정하세요. 나는 젊은가요? (d) 내가 위안보다 나이가 적다고 가정하세요. 나는 젊은가요?

영어 원문 보기

Suppose there is some threshold after which a person is considered old, and before which they are young.

Let Olaf be an old person, and let Yuan be a young person.

(a) Suppose I am older than Olaf. Am I old? (b) Suppose I am younger than Olaf. Am I old? (c) Suppose I am older than Yuan. Am I young? (d) Suppose I am younger than Yuan. Am I young?

정답·풀이 보기

(a) 올라프가 나이가 많고 내가 그보다 더 나이가 많다면, 나도 나이가 많다.

(b) 올라프가 나이가 많고 내가 그보다 나이가 적다면, 나도 나이가 많을 수도 있고(조금 덜할 뿐이다), 젊을 수도 있다. 판단하기에 정보가 충분하지 않다.

(d) 위안이 젊고 내가 그보다 더 젊다면, 나도 반드시 젊다.

이를 생각하는 또 다른 방법은 생년월일을 나타낸 시간선을 이용하는 것이다. 기준 시점보다 먼저 태어난 사람은 나이가 많고, 그 이후에 태어난 사람은 젊다.

내가 올라프보다 먼저(더 나이가 많게) 태어났다면 기준 시점보다 먼저 태어난 것이므로 나이가 많다.

내가 위안보다 나중에(더 젊게) 태어났다면 기준 시점 이후에 태어난 것이므로 젊다.

내가 올라프보다 나중에 태어났거나 위안보다 먼저 태어났다면, 내가 기준 시점의 어느 쪽에 있는지 알 수 없다. 나이가 많을 수도 있고 젊을 수도 있다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) If Olaf is old, and I am even older, then I am old as well.

(b) If Olaf is old, and I am not as old, then perhaps I am old as well (just slightly less so), or perhaps I am young. There is not enough information to tell.

(c) If Yuan is young, and I am older, then perhaps I am much older and I am old, or perhaps I am only a little older, and I am young. There is not enough information to tell.

(d) If Yuan is young, and I am even younger, then I must also be young.

Another way to think about this is with a timeline of birthdates. People born before the threshold are old, and people born after it are young.

If I'm born before (older than) Olaf, I'm born before the threshold, so I'm old.

If I'm born after (younger than) Yuan I'm born after the threshold, so I'm young.

If I'm born after Olaf or before Yuan, I don't know which side of the threshold I'm on. I could be old or I could be young.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 3.3절 · 15번우리말 번역

다음 각 명제가 참인지 거짓인지 판단하세요. 거짓이면 반례를 제시하고, 참이면 간단히 이유를 설명하세요.

(a) $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0$ 이면 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$ 은 수렴한다. (b) $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0$ 이면 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n\mathstrut} a_n$ 은 수렴한다. (c) $0\le a_n \le b_n$ 이고 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n$ 이 발산하면 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$ 도 발산한다.

다 풀었으면 정답 확인

(a) 일반적으로 거짓이다. 조화급수 $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$ 은 $p=1$ 인 $p$ -급수 판정법에 의해 발산한다.

(b) 주의해야 한다. $a_n$ 이 양수라는 조건은 주어지지 않았다. 따라서 이 명제는 일반적으로 거짓이다. $a_n =(-1)^n\frac{1}{n}$ 이면 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n\mathstrut} a_n$ 은 다시 조화급수 $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$ 이 되고, 이 급수는 발산한다.

이 문제로 이어서 풀기

# 비교 판정법계산기본자동 분류