비교 판정법 연습문제 — CLP-2 · 3.3절 · 15번

CLP-2 · 3.3절 · 15번대학 수준우리말 번역

다음 각 명제가 참인지 거짓인지 판단하세요. 거짓이면 반례를 제시하고, 참이면 간단히 이유를 설명하세요.

(a) $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0$ 이면 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$ 은 수렴한다. (b) $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0$ 이면 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n\mathstrut} a_n$ 은 수렴한다. (c) $0\le a_n \le b_n$ 이고 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n$ 이 발산하면 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$ 도 발산한다.

영어 원문 보기

Decide whether each of the following statements is true or false. If false, provide a counterexample. If true provide a brief justification.

(a) If $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0$ , then $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$ converges. (b) If $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0$ , then $\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n\mathstrut} a_n$ converges. (c) If $0\le a_n \le b_n$ and $\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n$ diverges, then $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$ diverges.

정답·풀이 보기

(a) 일반적으로 거짓이다. 조화급수 $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$ 은 $p=1$ 인 $p$ -급수 판정법에 의해 발산한다.

(b) 주의해야 한다. $a_n$ 이 양수라는 조건은 주어지지 않았다. 따라서 이 명제는 일반적으로 거짓이다. $a_n =(-1)^n\frac{1}{n}$ 이면 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n\mathstrut} a_n$ 은 다시 조화급수 $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$ 이 되고, 이 급수는 발산한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) In general false. The harmonic series $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$ diverges by the $p$ –test with $p=1$ .

(b) Be careful. You were not told that the $a_n$ 's are positive. So this is false in general. If $a_n =(-1)^n\frac{1}{n}$ , then $\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n\mathstrut} a_n$ is again the harmonic series $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$ , which diverges.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 3.3절 · 16번우리말 번역

급수 $\displaystyle \sum_{n=2}^\infty \frac{n^2}{3n^2+\sqrt n}$ 은 수렴하나요?

다 풀었으면 정답 확인

먼저 발산 판정법을 확인한다. 이 판정법이 늘 통하는 것은 아니지만, 통한다면 대개 가장 쉬운 방법이다.

$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{3n^2+\sqrt n} \left(\frac{\frac{1}{n^2}}{\frac{1}{n^2}}\right) = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{3+\frac{1}{n\sqrt n}} = \frac{1}{3} \neq 0 \end{aligned}$

더해지는 항들의 극한이 0이 아니므로, 발산 판정법에 의해 이 급수는 발산한다.

이 문제로 이어서 풀기

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