비교 판정법 연습문제 — CLP-2 · 3.3절 · 8번

CLP-2 · 3.3절 · 8번대학 수준우리말 번역

다음 추론을 타당하지 않게 만드는 결함은 무엇인가요?

문제: $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left(\sin(\pi n)+2\right)$ 이 수렴하는지 발산하는지 판단하세요.

답: 적분 판정법을 사용한다. $f(x)=\sin(\pi x)+2$ 라 하자. $\sin(x)+2 \geq -1+2 =1$ 이므로 $f(x)$ 는 항상 양수임에 유의한다. 또한 $f(x)$ 는 연속이다.

$\begin{aligned} \int_1^\infty [\sin(\pi x)+2] dx &= \lim_{b \to \infty}\int_1^b [\sin(\pi x)+2 ]dx\\ &=\lim_{b \to \infty} \left[\left.-\frac{1}{\pi}\cos(\pi x)+2x \right|_1^b\right]\\ &=\lim_{b \to \infty}\left[ -\frac{1}{\pi}\cos(\pi b)+2b +\frac{1}{\pi}(-1)-2\right]\\ &=\infty \end{aligned}$

적분 판정법에 의해 적분이 발산하므로 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left( \sin(\pi n)+2\right)$ 도 발산한다.

영어 원문 보기

What flaw renders the following reasoning invalid?

Q: Determine whether $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left(\sin(\pi n)+2\right)$ converges or diverges.

A: We use the integral test. Let $f(x)=\sin(\pi x)+2$ . Note $f(x)$ is always positive, since $\sin(x)+2 \geq -1+2 =1$ . Also, $f(x)$ is continuous.

By the integral test, since the integral diverges, also $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left( \sin(\pi n)+2\right)$ diverges.

정답·풀이 보기

$f(x)$ 가 감소하지 않으므로 적분 판정법을 적용할 수 없다.

원본 교재 풀이(영어)

The integral test does not apply because $f(x)$ is not decreasing.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 3.3절 · 21번우리말 번역

다음 급수의 값을 구하거나, 발산함을 보이세요: $\displaystyle\sum_{n=3}^\infty \left(\frac{-1}{5}\right)^n$ .

다 풀었으면 정답 확인

이 급수는 $r=\frac{-1}{5}$ 인 등비급수이다. $|r|<1$ 이므로 수렴한다.

공식 $\sum_{n=0}^\infty r^n=\frac{1}{1-r}$ 을 사용하고 싶지만, 이 급수는 0에서 시작하지 않으므로 다음과 같이 다시 쓴다:

$\begin{aligned} \sum_{n=3}^\infty \left(\frac{-1}{5}\right)^n&= \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{-1}{5}\right)^n- \sum_{n=0}^2 \left(\frac{-1}{5}\right)^n =\frac{1}{1-(-1/5)} - \left(1-\frac{1}{5}+\frac{1}{25} \right)\\ &=\frac{1}{6/5}-1+\frac{1}{5}-\frac{1}{25} = \frac{5}{6}+\frac{-25+5-1}{25}=-\frac{1}{150} \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 비교 판정법계산기본자동 분류