비교 판정법 연습문제 — CLP-2 · 3.3절 · 21번

CLP-2 · 3.3절 · 21번대학 수준우리말 번역

다음 급수의 값을 구하거나, 발산함을 보이세요: $\displaystyle\sum_{n=3}^\infty \left(\frac{-1}{5}\right)^n$ .

영어 원문 보기

Evaluate the following series, or show that it diverges: $\displaystyle\sum_{n=3}^\infty \left(\frac{-1}{5}\right)^n$ .

정답·풀이 보기

이 급수는 $r=\frac{-1}{5}$ 인 등비급수이다. $|r|<1$ 이므로 수렴한다.

공식 $\sum_{n=0}^\infty r^n=\frac{1}{1-r}$ 을 사용하고 싶지만, 이 급수는 0에서 시작하지 않으므로 다음과 같이 다시 쓴다:

$\begin{aligned} \sum_{n=3}^\infty \left(\frac{-1}{5}\right)^n&= \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{-1}{5}\right)^n- \sum_{n=0}^2 \left(\frac{-1}{5}\right)^n =\frac{1}{1-(-1/5)} - \left(1-\frac{1}{5}+\frac{1}{25} \right)\\ &=\frac{1}{6/5}-1+\frac{1}{5}-\frac{1}{25} = \frac{5}{6}+\frac{-25+5-1}{25}=-\frac{1}{150} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

This is a geometric series with $r=\frac{-1}{5}$ . Since $|r|<1$ , it is convergent.

We want to use the formula $\sum_{n=0}^\infty r^n=\frac{1}{1-r}$ , but our series does not start at 0, so we re-write it:

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 3.3절 · 20번우리말 번역

다음 급수의 값을 구하거나, 발산함을 보이세요. $\displaystyle\sum_{k=30}^\infty 3(1.001)^k$ .

다 풀었으면 정답 확인

이 급수는 $r=1.001$ 인 등비급수이다. $|r|>1$ 이므로 발산한다.

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