비교 판정법 연습문제 — CLP-2 · 3.3절 · 11번

CLP-2 · 3.3절 · 11번대학 수준우리말 번역

비판정법으로 판정할 수 없는, 수렴하는 급수의 예를 하나 드세요.

영어 원문 보기

Give an example of a convergent series for which the ratio test is inconclusive.

정답·풀이 보기

가능한 답 중 하나: $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^2}$ . 이 급수는 수렴한다( $p=2>1$ 인 $p$ –급수이다). 그러나 이웃하는 항의 비를 구하면 다음과 같다. $\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty}\frac{n^2}{(n+1)^2}=1$ 비의 극한이 1이므로 비판정법으로는 판정할 수 없다.

원본 교재 풀이(영어)

One possible answer: $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^2}$ . This series converges (it's a $p$ –series with $p=2>1$ ), but if we take the ratio of consecutive terms: $\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty}\frac{n^2}{(n+1)^2}=1$ The limit of the ratio is 1, so the ratio test is inconclusive.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 3.3절 · 12번우리말 번역

시험을 보고 있는데 비판정법에서 부등식이 정확히 어떻게 되는지 순간적으로 잊어버렸다고 상상해 보세요. 비가 있다는 것은 기억하지만 어느 항이 분자에 오는지는 기억나지 않습니다. 극한이 1보다 크거나 작다는 내용이 있었다는 것은 기억하지만 어느 쪽이 수렴을 뜻하는지는 기억나지 않습니다.

$\lim_{n \to \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|>1$ 또는 이와 동치인 $\lim_{n \to \infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|<1$ 이 합 $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ 이 (수렴하는 것이 아니라) 발산함을 뜻해야 하는 이유를 설명하세요.

다 풀었으면 정답 확인

발산판정법에 의해 급수 $\sum a_n$ 이 수렴하려면 $\lim\limits_{n \to \infty} a_n=0$ 이어야 한다. 즉, 항의 크기(절댓값)가 점점 작아져야 한다. $\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|<1$ 또는 (이와 동치로) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|>1$ 이면, 충분히 큰 $n$ 에 대해 $|a_{n+1}|>|a_n|$ 이므로 항의 크기가 실제로는 커지고 있다. 따라서 발산판정법에 의해 이 급수는 발산한다.

이 문제로 이어서 풀기

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