비교 판정법 연습문제 — CLP-2 · 3.3절 · 12번

CLP-2 · 3.3절 · 12번대학 수준우리말 번역

시험을 보고 있는데 비판정법에서 부등식이 정확히 어떻게 되는지 순간적으로 잊어버렸다고 상상해 보세요. 비가 있다는 것은 기억하지만 어느 항이 분자에 오는지는 기억나지 않습니다. 극한이 1보다 크거나 작다는 내용이 있었다는 것은 기억하지만 어느 쪽이 수렴을 뜻하는지는 기억나지 않습니다.

$\lim_{n \to \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|>1$ 또는 이와 동치인 $\lim_{n \to \infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|<1$ 이 합 $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ 이 (수렴하는 것이 아니라) 발산함을 뜻해야 하는 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

Imagine you're taking an exam, and you momentarily forget exactly how the inequality in the ratio test works. You remember there's a ratio, but you don't remember which term goes on top; you remember there's something about the limit being greater than or less than one, but you don't remember which way implies convergence.

Explain why $\lim_{n \to \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|>1$ or, equivalently, $\lim_{n \to \infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|<1$ should mean that the sum $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ diverges (rather than converging).

정답·풀이 보기

발산판정법에 의해 급수 $\sum a_n$ 이 수렴하려면 $\lim\limits_{n \to \infty} a_n=0$ 이어야 한다. 즉, 항의 크기(절댓값)가 점점 작아져야 한다. $\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|<1$ 또는 (이와 동치로) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|>1$ 이면, 충분히 큰 $n$ 에 대해 $|a_{n+1}|>|a_n|$ 이므로 항의 크기가 실제로는 커지고 있다. 따라서 발산판정법에 의해 이 급수는 발산한다.

원본 교재 풀이(영어)

By the divergence test, for a series $\sum a_n$ to converge, we need $\lim\limits_{n \to \infty} a_n=0$ . That is, the magnitude (absolute value) of the terms needs to be getting smaller. If $\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|<1$ or (equivalently) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|>1$ , then $|a_{n+1}|>|a_n|$ for sufficiently large $n$ , so the terms are actually growing in magnitude. That means the series diverges, by the divergence test.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 3.3절 · 13번우리말 번역

급수 $\displaystyle\sum_{n=a}^\infty a_n$ 과, 0 이상의 모든 정수 $n$ 에 대해 $f(n)=a_n$ 인 함수 $f(x)$ 가 있어서 다음을 만족시키는 예를 하나 드세요.

$\displaystyle\int_a^\infty f(x)\,\mathrm{d}x$ 는 발산하고,
$\displaystyle\sum_{n=a}^\infty a_n$ 은 수렴한다.

다 풀었으면 정답 확인

급수의 항은 적분의 정의역 중 작은 일부분만 반영한다. $x$ 가 0 이상의 정수일 때는 “좋게” 행동하지만(즉, 합이 수렴하는 수열을 만들지만), $x$ 가 0 이상의 정수가 아닐 때는 더 제멋대로인 함수 $f(x)$ 를 생각해 볼 수 있다.

예를 들어 $f(x)=\sin(\pi x)$ 라 하자. 그러면 모든 정수 $x$ 에 대해 $f(x)=0$ 이지만, 이것이 함수 전체를 대표하지는 않는다. 실제로 이에 대응하는 급수의 항은 $\{a_n\}=\{0,0,0,\ldots\}$ 이다.

$\displaystyle\int_{1}^\infty \sin(\pi x)\,\mathrm{d}x = \lim_{R \to \infty} \left[-\frac{1}{\pi}\cos (\pi x)\right]_1^R = \lim_{R \to \infty}\Big[-\cos (\pi R)\Big]-\frac{1}{\pi}$

극한이 존재하지 않으므로 이 적분은 발산한다.

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\sin(\pi n) = \sum_{n=1}^\infty 0 = 0$ 이다. 이 급수는 수렴한다.

이 문제로 이어서 풀기

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