비교 판정법 연습문제 — CLP-2 · 3.3절 · 13번

CLP-2 · 3.3절 · 13번대학 수준우리말 번역

급수 $\displaystyle\sum_{n=a}^\infty a_n$ 과, 0 이상의 모든 정수 $n$ 에 대해 $f(n)=a_n$ 인 함수 $f(x)$ 가 있어서 다음을 만족시키는 예를 하나 드세요.

$\displaystyle\int_a^\infty f(x)\,\mathrm{d}x$ 는 발산하고,
$\displaystyle\sum_{n=a}^\infty a_n$ 은 수렴한다.

영어 원문 보기

Give an example of a series $\displaystyle\sum_{n=a}^\infty a_n$ , with a function $f(x)$ such that $f(n)=a_n$ for all whole numbers $n$ , such that:

$\displaystyle\int_a^\infty f(x)\,\mathrm{d}x$ diverges, while
$\displaystyle\sum_{n=a}^\infty a_n$ converges.

정답·풀이 보기

급수의 항은 적분의 정의역 중 작은 일부분만 반영한다. $x$ 가 0 이상의 정수일 때는 “좋게” 행동하지만(즉, 합이 수렴하는 수열을 만들지만), $x$ 가 0 이상의 정수가 아닐 때는 더 제멋대로인 함수 $f(x)$ 를 생각해 볼 수 있다.

예를 들어 $f(x)=\sin(\pi x)$ 라 하자. 그러면 모든 정수 $x$ 에 대해 $f(x)=0$ 이지만, 이것이 함수 전체를 대표하지는 않는다. 실제로 이에 대응하는 급수의 항은 $\{a_n\}=\{0,0,0,\ldots\}$ 이다.

$\displaystyle\int_{1}^\infty \sin(\pi x)\,\mathrm{d}x = \lim_{R \to \infty} \left[-\frac{1}{\pi}\cos (\pi x)\right]_1^R = \lim_{R \to \infty}\Big[-\cos (\pi R)\Big]-\frac{1}{\pi}$

극한이 존재하지 않으므로 이 적분은 발산한다.

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\sin(\pi n) = \sum_{n=1}^\infty 0 = 0$ 이다. 이 급수는 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

The terms of the series only see a small portion of the domain of the integral. We can try to think of a function $f(x)$ that behaves “nicely" when $x$ is a whole number (that is, it produces a sequence whose sum converges), but is more unruly when $x$ is not a whole number.

For example, suppose $f(x)=\sin(\pi x)$ . Then $f(x)=0$ for every integer $x$ , but this is not representative of the function as a whole. Indeed, our corresponding series has terms $\{a_n\}=\{0,0,0,\ldots\}$ .

$\displaystyle\int_{1}^\infty \sin(\pi x)\,\mathrm{d}x = \lim_{R \to \infty} \left[-\frac{1}{\pi}\cos (\pi x)\right]_1^R = \lim_{R \to \infty}\Big[-\cos (\pi R)\Big]-\frac{1}{\pi}$

Since the limit does not exist, the integral diverges.

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\sin(\pi n) = \sum_{n=1}^\infty 0 = 0$ . The series converges.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 3.3절 · 3번우리말 번역

어떤 기준이 있어서, 그 기준을 넘으면 나이가 많다고 하고, 그 기준에 못 미치면 젊다고 한다고 가정하세요.

올라프는 나이가 많은 사람이고, 위안은 젊은 사람이라고 하세요.

(a) 내가 올라프보다 나이가 많다고 가정하세요. 나는 나이가 많은가요? (b) 내가 올라프보다 나이가 적다고 가정하세요. 나는 나이가 많은가요? (c) 내가 위안보다 나이가 많다고 가정하세요. 나는 젊은가요? (d) 내가 위안보다 나이가 적다고 가정하세요. 나는 젊은가요?

다 풀었으면 정답 확인

(a) 올라프가 나이가 많고 내가 그보다 더 나이가 많다면, 나도 나이가 많다.

(b) 올라프가 나이가 많고 내가 그보다 나이가 적다면, 나도 나이가 많을 수도 있고(조금 덜할 뿐이다), 젊을 수도 있다. 판단하기에 정보가 충분하지 않다.

(d) 위안이 젊고 내가 그보다 더 젊다면, 나도 반드시 젊다.

이를 생각하는 또 다른 방법은 생년월일을 나타낸 시간선을 이용하는 것이다. 기준 시점보다 먼저 태어난 사람은 나이가 많고, 그 이후에 태어난 사람은 젊다.

내가 올라프보다 먼저(더 나이가 많게) 태어났다면 기준 시점보다 먼저 태어난 것이므로 나이가 많다.

내가 위안보다 나중에(더 젊게) 태어났다면 기준 시점 이후에 태어난 것이므로 젊다.

내가 올라프보다 나중에 태어났거나 위안보다 먼저 태어났다면, 내가 기준 시점의 어느 쪽에 있는지 알 수 없다. 나이가 많을 수도 있고 젊을 수도 있다.

이 문제로 이어서 풀기

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