비교 판정법 연습문제 — CLP-2 · 3.3절 · 17번

CLP-2 · 3.3절 · 17번대학 수준우리말 번역

설명과 함께 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{5^k}{4^k+3^k}$ 이 수렴하는지 발산하는지 판단하세요.

영어 원문 보기

Determine, with explanation, whether the series $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{5^k}{4^k+3^k}$ converges or diverges.

정답·풀이 보기

이 문제는 2014년 기말고사에 그대로 출제되었다. 이 급수의 $n^{\rm th}$ 항이 $a_n=\frac{5^k}{4^k+3^k}$ 이고 $n$ 에 의존하지 않음에 주목하자! 가능성은 두 가지이다. 의도한 것이었거나(그렇다면 출제자가 특히 짓궂었던 것이다) 오타여서 원래 의도는 $a_n=\frac{5^n}{4^n+3^n}$ 이었을 것이다. 두 경우 모두 극한

$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty} a_n &=\lim_{n\to\infty} \frac{5^k}{4^k+3^k} = \frac{5^k}{4^k+3^k} \neq 0 \\ \lim_{n\to\infty} a_n &=\lim_{n\to\infty} \frac{5^n}{4^n+3^n} =\lim_{n\to\infty} \frac{(5/4)^n}{1+(3/4)^n} = +\infty \neq 0 \\ \end{aligned}$

이 0이 아니므로, 발산판정법에 의해 이 급수는 발산한다.

원본 교재 풀이(영어)

This precise question was asked on a 2014 final exam. Note that the $n^{\rm th}$ term in the series is $a_n=\frac{5^k}{4^k+3^k}$ and does not depend on $n$ ! There are two possibilities. Either this was intentional (and the instructor was being particularly nasty) or it was a typo and the intention was to have $a_n=\frac{5^n}{4^n+3^n}$ . In both cases, the limit

is nonzero, so the series diverges by the divergence test.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 3.3절 · 37번우리말 번역

다음 급수의 값을 구하거나, 발산함을 보이세요: $\displaystyle\sum_{n=5}^\infty \frac{1}{e^n}$ .

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

$\begin{aligned} \sum_{n=5}^\infty \frac{1}{e^n}&=\sum_{n=5}^\infty \left(\frac{1}{e}\right)^n\\ &=\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{e}\right)^n-\sum_{n=0}^4 \left(\frac{1}{e}\right)^n\\ &=\dfrac{1}{1-\frac{1}{e}}-\dfrac{1-\left(\frac{1}{e}\right)^{5}}{1-\frac{1}{e}}\\ &=\dfrac{\left(\frac{1}{e}\right)^5}{1-\frac{1}{e}} =\dfrac{1}{e^5\left(1-\frac{1}{e}\right)}\\ &=\dfrac{1}{e^5-e^4} \end{aligned}$

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