비교 판정법

(a) $n$ 이 크면 $n^2\gg 1$ 이므로 $\sqrt{n^2+1}\approx \sqrt{n^2}= n$ 이다. 이는 $a_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}$ 과 $b_n=\frac{1}{n}$ 에 극한비교판정법을 적용할 수 있음을 시사한다. 또한

$$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{a_n}{b_n} =\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1/\sqrt{n^2+1}}{1/n} =\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{\sqrt{1+1/n^2}} =1$$

이고 $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$ 이 발산하므로, 주어진 급수는 발산한다.

(b) $\cos(n\pi)=(-1)^n$ 이므로 주어진 급수는 교대급수판정법에 의해 수렴한다. $a_n=\frac{n}{2^n}$ 이 $n$ 이 한없이 커질 때 $0$ 으로 감소함을 확인하기 위해 다음을 보자.

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{(n+1)2^{-(n+1)}}{n2^{-n}} =\Big(1+\frac{1}{n}\Big)\frac{1}{2}$$

은 모든 $n\ge 1$ 에 대해 $1$ 보다 작고($a_{n+1}\le a_n$ 이므로), 모든 $n\ge 2$ 에 대해 $\frac{3}{4}$ 보다 작다($a_{n+1}\le \frac{3}{4}a_n$ 이므로).