비교 판정법 연습문제 — CLP-2 · 3.3절 · 19번

CLP-2 · 3.3절 · 19번대학 수준우리말 번역

다음 급수는 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{\sqrt{k}\sqrt{k+1}}$

영어 원문 보기

Does the following series converge or diverge? $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{\sqrt{k}\sqrt{k+1}}$

정답·풀이 보기

이 급수의 항은 0에 가까워지므로 발산판정법을 쓸 수 없다.

수렴 여부를 추측하기 위해 다음과 같이 한다. $\sum \frac{1}{\sqrt{k}\sqrt{k+1}}=\sum\frac{1}{\sqrt{k^2+k}} \approx \sum\frac{1}{\sqrt{k^2}}=\sum\frac{1}{k}$ 이 급수가 조화급수와 비슷하게 행동한다고 추측할 수 있고, 조화급수는 발산한다( $p$ -판정법이나 적분판정법으로 보일 수 있다). 따라서 이 급수도 발산한다고 추측한다. 그러나 이 급수를 조화급수와 직접 비교하여 발산함을 보이려면 이 급수의 항이 조화급수의 항보다 커야 하는데, 그렇지 않다. 그러므로 극한비교판정법을 쓴다.

$\begin{aligned} \frac{\frac{1}{k}}{\frac{1}{\sqrt{k^2+k}}}&=\frac{\sqrt{k^2+k}}{k}=\frac{\sqrt{k^2+k}}{\sqrt{k^2}}= \sqrt{\frac{k^2+k}{k^2}}=\sqrt{1+\frac{1}{k}},\text{ 이므로}\\ \lim_{k \rightarrow \infty}\frac{\frac{1}{k}}{\frac{1}{\sqrt{k^2+k}}}&=\lim_{k \rightarrow \infty}\sqrt{1+\frac{1}{k}}=1 \end{aligned}$

1은 0보다 큰 실수이므로, 극한비교판정법에 의해 $\sum \frac{1}{\sqrt{k}\sqrt{k+1}}$ 은 $\sum \frac{1}{k}$ 과 마찬가지로 발산한다.

원본 교재 풀이(영어)

The terms of the series tend to 0, so we can't use the divergence test.

To generate a guess about its convergence, we do the following: $\sum \frac{1}{\sqrt{k}\sqrt{k+1}}=\sum\frac{1}{\sqrt{k^2+k}} \approx \sum\frac{1}{\sqrt{k^2}}=\sum\frac{1}{k}$ We guess that our series behaves like the harmonic series, and the harmonic series diverges (which can be demonstrated by $p$ -test or integral test). So, we guess that our series diverges. However, in order to directly compare our series to the harmonic series and show our series diverges, our terms would have to be bigger than the terms in the harmonic series, and this is not the case. So, we use limit comparison.

$\begin{aligned} \frac{\frac{1}{k}}{\frac{1}{\sqrt{k^2+k}}}&=\frac{\sqrt{k^2+k}}{k}=\frac{\sqrt{k^2+k}}{\sqrt{k^2}}= \sqrt{\frac{k^2+k}{k^2}}=\sqrt{1+\frac{1}{k}},\text{ so}\\ \lim_{k \rightarrow \infty}\frac{\frac{1}{k}}{\frac{1}{\sqrt{k^2+k}}}&=\lim_{k \rightarrow \infty}\sqrt{1+\frac{1}{k}}=1 \end{aligned}$

Since 1 is a real number greater than 0, by the Limit Comparison Test, $\sum \frac{1}{\sqrt{k}\sqrt{k+1}}$ diverges, like $\sum \frac{1}{k}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 3.3절 · 35번우리말 번역

급수

$\sum_{k=1}^\infty\frac{k^4-2k^3+2}{k^5+k^2+k}$

이 수렴하는지 발산하는지 판단하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$k$ 가 크면 $k^4\gg 2k^3-2$ 이고 $k^5\gg k^2+k$ 이므로 $\frac{k^4-2k^3+2}{k^5+k^2+k}\approx \frac{k^4}{k^5} =\frac{1}{k}$ 이다. 이는 $a_k=\frac{k^4-2k^3+2}{k^5+k^2+k}$ 과 $b_k=\frac{1}{k}$ 에 극한비교판정법을 적용할 수 있음을 시사한다. 또한

$\begin{aligned} \lim_{k\rightarrow\infty} \frac{a_k}{b_k} &=\lim_{k\rightarrow\infty} \frac{k^4-2k^3+2}{k^5+k^2+k}\cdot \frac{k}{1} =\lim_{k\rightarrow\infty} \frac{k^5-2k^4+2k}{k^5+k^2+k} =\lim_{k\rightarrow\infty} \frac{1-2/k+2/k^4}{1+1/k^3+1/k^4} \\ &=1 \end{aligned}$

이고 $\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{k}$ 이 ( $p=1$ 인 $p$ -판정법에 의해) 발산하므로, 주어진 급수는 발산한다.

이 문제로 이어서 풀기

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