비교 판정법 연습문제 — CLP-2 · 3.3절 · 35번

CLP-2 · 3.3절 · 35번대학 수준우리말 번역

급수

$\sum_{k=1}^\infty\frac{k^4-2k^3+2}{k^5+k^2+k}$

이 수렴하는지 발산하는지 판단하세요.

영어 원문 보기

Determine whether the series

$\sum_{k=1}^\infty\frac{k^4-2k^3+2}{k^5+k^2+k}$

converges or diverges.

정답·풀이 보기

$k$ 가 크면 $k^4\gg 2k^3-2$ 이고 $k^5\gg k^2+k$ 이므로 $\frac{k^4-2k^3+2}{k^5+k^2+k}\approx \frac{k^4}{k^5} =\frac{1}{k}$ 이다. 이는 $a_k=\frac{k^4-2k^3+2}{k^5+k^2+k}$ 과 $b_k=\frac{1}{k}$ 에 극한비교판정법을 적용할 수 있음을 시사한다. 또한

$\begin{aligned} \lim_{k\rightarrow\infty} \frac{a_k}{b_k} &=\lim_{k\rightarrow\infty} \frac{k^4-2k^3+2}{k^5+k^2+k}\cdot \frac{k}{1} =\lim_{k\rightarrow\infty} \frac{k^5-2k^4+2k}{k^5+k^2+k} =\lim_{k\rightarrow\infty} \frac{1-2/k+2/k^4}{1+1/k^3+1/k^4} \\ &=1 \end{aligned}$

이고 $\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{k}$ 이 ( $p=1$ 인 $p$ -판정법에 의해) 발산하므로, 주어진 급수는 발산한다.

원본 교재 풀이(영어)

For large $k$ , $k^4\gg 2k^3-2$ and $k^5\gg k^2+k$ so $\frac{k^4-2k^3+2}{k^5+k^2+k}\approx \frac{k^4}{k^5} =\frac{1}{k}.$ This suggests that we apply the limit comparison test with $a_k=\frac{k^4-2k^3+2}{k^5+k^2+k}$ and $b_k=\frac{1}{k}$ . Since

and since $\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{k}$ diverges (by the $p$ –test with $p=1$ ), the given series diverges.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 3.3절 · 32번우리말 번역

급수 $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{ \sqrt[3]{k^4+1} } {\sqrt{k^5+9}}$ 가 수렴하는지 판단하세요.

다 풀었으면 정답 확인

먼저 직관을 얻어 본다. $k$ 가 매우 클 때, $k^4$ 이 $1$ 보다 훨씬 우세하므로 분자는 $\sqrt[3]{k^4+1} \approx \sqrt[3]{k^4} = k^{4/3}$ 이고, $k^5$ 이 9 보다 훨씬 우세하므로 분모는 $\sqrt{k^5+9} \approx \sqrt{k^5} = k^{5/2}$ 이다. 따라서 일반항은

$\begin{aligned} \frac{ \sqrt[3]{k^4+1} }{\sqrt{k^5+9}} \approx \frac{k^{4/3}}{k^{5/2}} =\frac{1}{k^{7/6}} \end{aligned}$

이다.

급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{k^{7/6}}$ 은 $p=\frac{7}{6}>1$ 이므로 $p$ -판정법에 의해 수렴한다. 따라서 주어진 급수도 수렴할 것으로 예상된다.

이 직관이 맞는지 확인하기 위해 극한비교판정법을 다음에 적용한다.

$\begin{aligned} a_k= \frac{ \sqrt[3]{k^4+1} }{\sqrt{k^5+9}} \quad\text{와}\quad b_k= \frac{1}{k^{7/6}}=\frac{k^{4/3}}{k^{5/2}} \end{aligned}$

이때

$\lim_{k\rightarrow\infty} \frac{a_k}{b_k} =\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{ \sqrt[3]{k^4+1}/k^{4/3}} {\sqrt{k^5+9}/k^{5/2}} =\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{ \sqrt[3]{1+1/k^4} }{\sqrt{1+9/k^5}} =1$

이 존재하므로 적용할 수 있다. 급수 $\sum\limits_{k=1}^\infty b_k$ 는 수렴하는 $p$ -급수( $p=\frac{7}{6}>1$ )이므로 주어진 급수는 수렴한다.

참고: 우리가 고른 비교 급수로 직접 비교판정법을 적용하려면, 충분히 큰 모든 $k$ 에 대해 $\frac{\sqrt[3]{k^4+1}}{\sqrt{k^5+9}} \leq \frac{1}{k^{7/6}}$ 임을 보여야 한다. 그러나 이는 성립하지 않는다. $k$ 가 클 때는 부등호 방향이 반대인 부등식이 성립한다.

이 문제로 이어서 풀기

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