비교 판정법 연습문제 — CLP-2 · 3.3절 · 24번

CLP-2 · 3.3절 · 24번대학 수준우리말 번역

다음 급수는 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty \frac{e^k}{k!}$ .

영어 원문 보기

Does the following series converge or diverge? $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty \frac{e^k}{k!}$ .

정답·풀이 보기

팩토리얼은 엄청나게 빨리 커진다. 정말, 아주 빠르다. 지수함수보다도 더 빠르다. 그래서 항이 0으로 가므로 발산판정법으로는 알 수 없다. 팩토리얼이 있을 때 먼저 쓰기 좋은 비판정법을 사용하자.

$\begin{aligned} \frac{a_{k+1}}{a_k}&=\frac{\frac{e^{k+1}}{(k+1)!}}{\frac{e^k}{k!}}=\frac{e^{k+1}}{e^k}\cdot\frac{k!}{(k+1)!} = e\cdot\frac{k(k-1)\cdots(1)}{(k+1)(k)(k-1)\cdots(1)}=e\cdot\frac{1}{k+1}=\frac{e}{k+1} \\ \text{$e$는 상수이므로,} \\ \lim_{k \rightarrow \infty}\frac{a_{k+1}}{a_k}&=\lim_{k \rightarrow \infty}\frac{e}{k+1}=0 \end{aligned}$

$0<1$ 이므로 비판정법에 의해 이 급수는 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

Factorials grow super fast. Like, wow, really fast. Even faster than exponentials. So the terms are going to zero, and the divergence test won't help us. Let's use ratio–it's a good go-to test with factorials.

$\begin{aligned} \frac{a_{k+1}}{a_k}&=\frac{\frac{e^{k+1}}{(k+1)!}}{\frac{e^k}{k!}}=\frac{e^{k+1}}{e^k}\cdot\frac{k!}{(k+1)!} = e\cdot\frac{k(k-1)\cdots(1)}{(k+1)(k)(k-1)\cdots(1)}=e\cdot\frac{1}{k+1}=\frac{e}{k+1} \\ \text{Since $e$ is a constant,} \\ \lim_{k \rightarrow \infty}\frac{a_{k+1}}{a_k}&=\lim_{k \rightarrow \infty}\frac{e}{k+1}=0 \end{aligned}$

Since $0<1$ , by the ratio test, the series converges.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 3.3절 · 27번우리말 번역

다음 급수는 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{n^2+1}{2n^4+n}$ .

다 풀었으면 정답 확인

$n$ 이 커질 때 어림해 보자. $\frac{n^2+1}{2n^4+n} \approx \frac{n^2}{2n^4}=\frac{1}{2n^2}$ $\sum \frac{1}{2n^2}$ 은 ( $p$ -판정법 또는 적분판정법에 의해) 수렴하는 급수이므로, 주어진 급수도 수렴할 것으로 짐작할 수 있다. 비교판정법을 쓰려면 $\frac{n^2+1}{2n^4+n}<\frac{1}{2n^2}$ 임을 보여야 하는데 이는 번거로워 보이므로, 극한비교판정법을 쓰자.

$\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{\frac{n^2+1}{2n^4+n}}{\frac{1}{2n^2}}=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{(n^2+1)2n^2}{2n^4+n} =\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{2n^4+2n^2}{2n^4+n}\left(\frac{1/n^4}{1/n^4}\right)=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{2+\frac{2}{n^2}}{2+\frac{1}{n^3}}=1$

극한이 양의 유한한 수이므로 극한비교판정법에 의해 $\sum \frac{n^1+1}{2n^4+n}$ 은 $\sum\frac{1}{2n^2}$ 과 같은 성질을 갖는다. 즉, 수렴한다.

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