비교 판정법 연습문제 — CLP-2 · 3.3절 · 27번

CLP-2 · 3.3절 · 27번대학 수준우리말 번역

다음 급수는 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{n^2+1}{2n^4+n}$ .

영어 원문 보기

Does the following series converge or diverge? $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{n^2+1}{2n^4+n}$ .

정답·풀이 보기

$n$ 이 커질 때 어림해 보자. $\frac{n^2+1}{2n^4+n} \approx \frac{n^2}{2n^4}=\frac{1}{2n^2}$ $\sum \frac{1}{2n^2}$ 은 ( $p$ -판정법 또는 적분판정법에 의해) 수렴하는 급수이므로, 주어진 급수도 수렴할 것으로 짐작할 수 있다. 비교판정법을 쓰려면 $\frac{n^2+1}{2n^4+n}<\frac{1}{2n^2}$ 임을 보여야 하는데 이는 번거로워 보이므로, 극한비교판정법을 쓰자.

$\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{\frac{n^2+1}{2n^4+n}}{\frac{1}{2n^2}}=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{(n^2+1)2n^2}{2n^4+n} =\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{2n^4+2n^2}{2n^4+n}\left(\frac{1/n^4}{1/n^4}\right)=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{2+\frac{2}{n^2}}{2+\frac{1}{n^3}}=1$

극한이 양의 유한한 수이므로 극한비교판정법에 의해 $\sum \frac{n^1+1}{2n^4+n}$ 은 $\sum\frac{1}{2n^2}$ 과 같은 성질을 갖는다. 즉, 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

We want to make an estimation, when $n$ gets big: $\frac{n^2+1}{2n^4+n} \approx \frac{n^2}{2n^4}=\frac{1}{2n^2}$ Since $\sum \frac{1}{2n^2}$ is a convergent series (by $p$ -test, or integral test), we guess that our series is convergent as well. If we wanted to use comparison test, we should have to show $\frac{n^2+1}{2n^4+n}<\frac{1}{2n^2}$ , which seems unpleasant, so let's use limit comparison.

Since the limit is a positive finite number, by the Limit Comparison Test, $\sum \frac{n^1+1}{2n^4+n}$ does the same thing $\sum\frac{1}{2n^2}$ does: it converges.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 3.3절 · 26번우리말 번역

다음 급수는 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{n!n!}{(2n)!}$ .

다 풀었으면 정답 확인

팩토리얼이 있을 때는 보통 발산판정법이나 비판정법을 쓴다. 항들이 실제로 0 으로 가까워지므로, 남은 방법은 비판정법이다.

$\begin{aligned} \frac{a_{n+1}}{a_n}&=\frac{\frac{(n+1)!(n+1)!}{(2n+2)!}}{\frac{n!n!}{(2n)!}}=\frac{(n+1)!(n+1)!}{n!n!}\cdot\frac{(2n)!}{(2n+2)!}\\ &=\tfrac{ (n+1){(n)}{(n-1)}\cdots{(1)}}{{n}{(n-1)}\cdots{(1)}} \cdot\tfrac{ (n+1){(n)}{(n-1)}\cdots{(1)}}{{n}{(n-1)}\cdots{(1)}} \cdot \tfrac{{(2n)}{(2n-1)}{(2n-2)}\cdots{(1)}}{ (2n+2)(2n+1){(2n)}{(2n-1)}{(2n-2)}\cdots{(1)}} \\ &=(n+1)(n+1) \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)}\text{이므로}\\ \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}&=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{(n+1)(n+1)}{(2n+2)(2n+1)} =\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{(n+1)(n+1)}{2(n+1)(2n+1)} =\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{n+1}{4n+2}=\frac{1}{4} \end{aligned}$

극한이 1 보다 작은 수이므로, 비판정법에 의해 이 급수는 수렴한다.

이 문제로 이어서 풀기

# 비교 판정법계산보통자동 분류