비교 판정법 연습문제 — CLP-2 · 3.3절 · 25번

CLP-2 · 3.3절 · 25번대학 수준우리말 번역

다음 급수의 값을 구하거나, 발산함을 보이세요: $\displaystyle\sum_{k=0}^\infty\frac{2^k}{3^{k+2}}$ .

영어 원문 보기

Evaluate the following series, or show that it diverges: $\displaystyle\sum_{k=0}^\infty\frac{2^k}{3^{k+2}}$ .

정답·풀이 보기

이 급수는 거의 등비급수의 꼴이다. 먼저 거듭제곱이 $k+2$ 가 아니라 $k$ 가 되어야 하는데, $3^{k+2}=3^k3^2=9\cdot3^2$ 임에 주목하면 다음과 같다.

$\begin{aligned} \sum_{k=0}^\infty\frac{2^k}{3^{k+2}}&=\sum_{k=0}^\infty\frac{2^k}{9\cdot3^k} =\frac{1}{9}\sum_{k=0}^\infty\frac{2^k}{3^k}=\frac{1}{9}\sum_{k=0}^\infty\left(\frac{2}{3}\right)^k \\ \text{이제 $r=\frac{2}{3}$ 인 등비급수처럼 보인다} \\ &=\frac{1}{9}\left(\frac{1}{1-(2/3)}\right)=\frac{1}{3} \end{aligned}$

결론: 이 (등비)급수는 수렴하고, 그 합은 $\dfrac{1}{3}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

This is close to being in the form of a geometric series. First, we should have our powers be $k$ , not $k+2$ , but we notice $3^{k+2}=3^k3^2=9\cdot3^2$ , so:

$\begin{aligned} \sum_{k=0}^\infty\frac{2^k}{3^{k+2}}&=\sum_{k=0}^\infty\frac{2^k}{9\cdot3^k} =\frac{1}{9}\sum_{k=0}^\infty\frac{2^k}{3^k}=\frac{1}{9}\sum_{k=0}^\infty\left(\frac{2}{3}\right)^k \\ \text{Now it looks like a geometric series with $r=\frac{2}{3}$} \\ &=\frac{1}{9}\left(\frac{1}{1-(2/3)}\right)=\frac{1}{3} \end{aligned}$

In conclusion: this (geometric) series is convergent, and its sum is $\dfrac{1}{3}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 3.3절 · 24번우리말 번역

다음 급수는 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty \frac{e^k}{k!}$ .

다 풀었으면 정답 확인

팩토리얼은 엄청나게 빨리 커진다. 정말, 아주 빠르다. 지수함수보다도 더 빠르다. 그래서 항이 0으로 가므로 발산판정법으로는 알 수 없다. 팩토리얼이 있을 때 먼저 쓰기 좋은 비판정법을 사용하자.

$\begin{aligned} \frac{a_{k+1}}{a_k}&=\frac{\frac{e^{k+1}}{(k+1)!}}{\frac{e^k}{k!}}=\frac{e^{k+1}}{e^k}\cdot\frac{k!}{(k+1)!} = e\cdot\frac{k(k-1)\cdots(1)}{(k+1)(k)(k-1)\cdots(1)}=e\cdot\frac{1}{k+1}=\frac{e}{k+1} \\ \text{$e$는 상수이므로,} \\ \lim_{k \rightarrow \infty}\frac{a_{k+1}}{a_k}&=\lim_{k \rightarrow \infty}\frac{e}{k+1}=0 \end{aligned}$

$0<1$ 이므로 비판정법에 의해 이 급수는 수렴한다.

이 문제로 이어서 풀기

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